Aşağıdaki ifadelerin birer önerme olup olmadığını yanındaki boşluklara yazınız.
a) Birbirinden farklı en küçük üç asal sayının toplamı 10 dur. (2+3+5=10 Önermedir)
b) Türkiye Cumhuriyeti Asya kıtasındadır. (Önerme)
c) Fatih bu okulda mı? (Önerme değil)
ç) Ay Dünya’nın uydusudur. (Önerme)
d) Bugün hava güzel mi? (Önerme değil)

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini yandaki boşluklara yazınız.
a) ‘‘6 + 3 > 7 dir.’’ (1)
b) ‘‘En büyük iki negatif tam sayının toplamı -2 dir.’’ (0)
c) ‘‘Dünyada ilk kalorifer sistemi İshakpaşa Sarayı’nda kullanılmıştır.’’ (1)
ç) ‘‘10 ile 19 arasında 8 sayı vardır.’’ (1)
d) ‘‘2 sayısı, 2x – 3 = 1 denkleminin çözüm kümesinin bir elemanıdır.’’ (1)

Aşağıdaki önermelerden hangilerinin birbirine denk önerme olduğunu bulunuz.
a) p: ‘‘Mardin ili, Güney Doğu Anadolu Bölgesi’ndedir.’’  (1)
b) q: ’’32 – 22 < (-2)2 dir.’’ (0)
c) r: ‘‘Negatif asal sayı yoktur.’’ (1)

ç) s: (-2)² . (-1)¹⁰¹ / (-3)² + (-5) > 0’dır (0) 

p denktir r’ye 

q denktir s’ye

Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarını yazınız.
a) p: ‘‘Fındık üretiminde Türkiye dünya birincisidir. (p’ Fındık üretiminde Türkiye dünya birincisi değildir)
b) q: ‘‘3x+5>-2 ifadesini sağlayan en küçük x tam sayı değeri -3 tür.’’ (q’ 3x+5<=-2 ifadesini sağlayan en küçük x tam sayı değeri -3 değildir)
c) r: 1/2 + 1/4 : 1/2 = 1’dir (r’ 1/2 + 1/4 : 1/2 # 1’dir)

7 farklı önermenin birbirine göre kaç tane doğruluk durumu olacağını bulunuz.

2^7=128

7 farklı önermenin birbirlerine göre 128 tane doğruluk durumu vardır.

n+2 tane farklı önermenin birbirine göre 64 farklı doğruluk durumu olduğuna göre n sayısını bulunuz.

2 ^ (n + 2) = 64
n + 2 = 6
n = 4
6  önerme birbirine göre 64 farklı doğruluk değerine sahip olur. 

SORULAR

p: ‘‘İki basamaklı en küçük tam sayı -99 dur.’’  (1)

q: ‘‘Camın ham maddelerinden biri kumdur.’’  (1)

r: ‘‘Bir asal sayının 2 katının 1 fazlası daima bir asal sayıdır.’’ (0)

7 X 2 + 1 = 15 Asal değildir. Bu örnekle aksini kanıtladığınız için bu önerme doğru değildir.

önermelerine göre aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.

a) (p V q’) Λ r

= ( 1 V 1′) Λ 0

=  1 Λ 0    

= 0

b) (p Λ q)’ V r

= (1 Λ 1)’ V 0

= 1′ V 0

= 0 V 0

= 0

c) (p’ V r) V (p Λ q’)’

= (0′ V 0) V ( 0 Λ  1′)’

= (1 V 0) V ( 0 Λ 0)’

= 1 V 0′

= 1 V 1 

= 1

ç) p Λ (q Λ r’)

= 1 Λ  (1 Λ 0′)

= 1 Λ  (1 Λ 1)

= 1 Λ 1

= 1

Aşağıdaki ifadelerin doğruluk değerini bulunuz.
a) (1 V 0) Λ 1  = 1 Λ  1 = 1  

b) (0 Λ  1) V (1 V 0)’ = 0 V 1′ = 0 V 0 = 0
c) (1′ Λ  0) V (0 V  1) = (0 Λ  0) V 1 = 0 V 1 = 1

ç) (1 Λ  ((1 Λ  1) Λ  1) Λ  1′) = (1 Λ  (1 Λ 1) Λ  0) = 1 Λ 1 Λ 0 = 0

Aşağıdaki denkliklerden doğru olanın yanına (D), yanlış olanın yanına (Y) yazınız.
a) p’ V p ≡ 1 (D)
b) (p Λ q’)’ ≡ p’ V q (D)
c) p Λ (q V r) ≡ (p V q) Λ (p V r) (Y)
ç) p Λ 1 ≡ 1 (Y)

Aşağıdaki bileşik önermelerin en sade şeklini bulunuz.

a) p V (p Λ q)’   ≡ p V (p’ V q’) ≡ (p V p’) V q’ ≡ 1 V q’ ≡ 1

b) (p V q’)’ Λ p  ≡ (p’ Λ q) Λ p ≡ (p’ Λ p) Λ q ≡ 0 Λ q ≡ 0   
c) (p V q’) Λ (p’ Λ q)’   ≡ (p V q’) Λ (p V q’) ≡ p V ( q’ Λ q’) ≡ p V q’  

ç) (p V q’)’ V (p’ Λ q’)  ≡ (p’ Λ q) V (p’ Λ q’)  ≡ p’ Λ (q’ V q) ≡ p’ Λ 1 ≡ p’

(p V q’)’ Λ (q Λ r) ≡ 1 olduğuna göre p, q ve r önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.

p V q’)’≡ 1

(q Λ r) ≡ 1 ( burada ve olduğu için her iki tarafta bir olmak zorundadır.

q ≡ 1 , r ≡ 1 bulunur.

(p V q’)’≡ 1 olmalı değili 1 ise kendisi 0 olur.

p V q’ ≡ 0

q≡1 idi değili 0 yapar ;

p V 0 ≡0 ise ; p≡0 bulunur.

Doğruluk değerleri ;

p ≡ 0 , q ≡ 1 , r ≡ 1 bulunur.

Aşağıdaki ifadelerin en sade şeklini bulunuz.
a) (p Λ 0) V (p V 1)

(p Λ 0) V (p V 1)  burada, (p V 1 ) her zaman 1 dir doğrudur dolayısıyla (P V 1)’i dikkate almayabiliriz
(p Λ 0) V 1  Veya bağlacında bir taraf doğruysa diğer tarafta ne olursa olsun ifade doğrudur. 

Sonuç “1” bulunur.

b) (p V 0) Λ (p’ Λ 1)

(p V 0) Λ (p’ Λ 1) burada p önermesi ya 1 dir ya 0 dır.

Birinci olasılık; p = 1 için p’ = 0;

(1 v 0 ) = 1, (0 Λ 1)= 0 , 1 Λ 0 = 0 bulunur.

İkinci olasılık; p = 0 için p’ = 1;

( 0 V 0 ) = 0, ( 1 Λ 1 ) = 1, 0 Λ 1 = 0 bulunur .

Sonuç “0” bulunur.

19 Mayıs Lisesinde görev yapan Müdür Yardımcısı Selin Hanım, nöbetçi öğrenciyi çağırarak 9-C sınıfından Kemal veya Yağmur’un odasına gelmesini söylemiştir. Nöbetçi öğrenci 9-C sınıfına girerken çağrılan iki öğrenci için arada kullanılan “ veya” bağlacını unutmuştur. Buna göre,
a) Nöbetçi öğrenci bağlacı “ve” olarak hatırlarsa hangi olası durumların gerçekleşeceğini bulunuz.
b) Nöbetçi öğrenci bağlacı “ya da” olarak hatırlarsa hangi olası durumların gerçekleşeceğini bulunuz.
c) Nöbetçi öğrenci Selin Hanım’ın söylediğini doğru hatırlarsa hangi olası durumların gerçekleşeceğini bulunuz.

a) Bağlaç “ve” olarak kabul edilirse hem Yağmur hem de Kemal müdürün odasına çağrılır.

b) Bağlaç “ya da” olarak kabul edilirse ya Yağmur ya da Kemal müdürün odasına çağrılır. Yani ikisinden yalnızca biri.

c) Bağlaç “veya” olarak kabul edilirse b şıkkındaki durum gerçekleşir. Yani müdürün odasına ya Yağmur ya da Kemal çağrılır.

(1 V 1′) V (0 V 0′) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm ->

(1 V 1′) V (0 V 0′)   ≡  (1 V 0) V (0 V 1)  ≡ 1 V 1 ≡ 1

(p’ V q’) V (p Λ q) bileşik önermesini en sade biçimde yazınız.

Çözüm ->

(p’ V q’) V (p Λ q) ≡  (p Λ q)’ V  (p Λ q)  ≡ p Λ (q V  q’) ≡ p Λ 1  ≡ p

SORULAR

p ≡ 1, q ≡ 0, r ≡ 1 doğruluk değerlerine göre aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.
a) p ⇒ (q Λ r) = 1 ⇒(0 Λ 1)  º 1 ⇒ 0  º 0
b) (p V q) ⇒ r = (1 V 0) ⇒ 1 º 1 ⇒ 1 º 1
c) (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ r) = (1 ⇒ 0) ⇒ (0 ⇒ 1) º 0 ⇒ 1 º 1
ç) (q’ ⇒ p) ⇒ r’ = (1 ⇒ 1) ⇒ 0 º 0 ⇒ 0 º 0

(p Λ q’) ⇒ r ≡ 0 ise (p ⇒ r)’ ⇒ (qV r’) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

(p Λ q’) ⇒ r ≡ 0 önermesi ise bağlacının özelliğinden yararlanarak hareket edersek burada doğrudan yanlışa ulaştığımız zaman doğruluk değeri “0”‘dır yani yanlıştır, dolayısıyla (p Λ q’) ifadesi doğrudur yani 1, r ifadesi 0’dır.

(p ⇒ r)’ ⇒ (q V r’) parantez içini çözelim;

(p’ V q )’ = ((p’)’ Λ q’ ) = (p Λ q’ ) ifadesine 1,

1 ⇒ (q V r’) burada r ifadesine 0 değili ise 1 olacaktır,

1 ⇒ (q V 1) ifadesi, (q V 1) her zaman 1 olur,

1 ⇒ 1 ifadesi doğrudan doğruya ulaşırsak sonuç doğrudur

Doğruluk değeri 1’dir.

(p’ ⇒ q)’ ⇒ p’ bileşik önermesini en sade biçimde yazınız.

(p ⇒ q)’ V (p ⇒ q) 

p’  ⇒ q º  p V q

(p’ ⇒ q)’ ⇒ q’ º  (p V q)’ ⇒ p’

º (p V q)’ ⇒ p’ iki bağlaç aynı birleştirelim

º (p V p’) ⇒ q

º 1 V q

º 1

(p ⇒ q)’ V (p ⇒ q) bileşik önermesini en sade biçimde yazınız.

p ⇒ q º  X diyelim öyleyse ifade

X V X’ º 1 olur

(p ⇒ q’)’ V (q ⇒ p)’ bileşik önermesini en sade biçimde yazınız.

‘‘Bayrak dalgalanırsa vatan düşmez.’’ önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini yazınız.

Tersi – Bayrak dalgalanmazsa vatan düşer.

Karşıtı –  Vatan düşerse, bayrak dalgalanmaz.

Karşıt tersi –  Vatan düşmezse, bayrak dalgalanır.

Karşıt durumda, ikinci cümle ile birinci cümle yer değiştirir. Terste ise olumsuzu alınır.  Karşıt terste ise hem olumsuzu alınır, hem de yer değişimi yapılır.

(p ⇔q) Λ (q Λ p’) bileşik önermesini en sade biçimde yazınız.

(p ⇒ q ) Λ (q ⇒ p ) Λ (q Λ p’) 

( p’ V q) Λ (q’ V p) Λ (q Λ p’) 

( p’ V q) Λ (q Λ p’) Λ (q’ V p)

( p’ V q) ≡ (p Λ q’ )’

(q’ V p) ≡ (q Λ p’ ) ‘

(p Λ q’ )’ Λ (q Λ p’) Λ (q Λ p’ )’

(q Λ p’) Λ (q Λ p’ )’

(q Λ p’) ve (q Λ p’ )’ önermeleri var ve bu iki önerme “ve” bağlacıyla bağlanmış. İki önermeden birisi diğerinin değilidir. Dolayısıyla 0’dır. Ve bağlacıyla bağlandığı için bileşik önermenin en sade biçimi 0’dır.

30 kişilik bir sınıfta Pınar, Remzi, Kaan ve Nilgün dışındaki öğrencilerin devamsızlık yapmadığı bilinmektedir. Matematik öğretmeni Gülendam Hanım, bu öğrenciler için aşağıdaki tablodaki sembolik mantık kurallarını belirlemiştir.

Gülendam Hanım bu sınıfa derse girdiğinde yoklama sonucunu tahtaya sembolik mantık kurallarını kullanarak aşağıdaki şekilde yazmıştır:

I) p’ Λ r ≡ 1      (r º1   p º0)

II) k ⇒ p ≡ 0  (k º 1   p º 0)

III) p’ ⊻ n ≡ 0    (1 V n º 0 ⇒ n º 1)
Yukarıda verilen denkliklere göre

a) Pınar, Remzi, Kaan ve Nilgün arasından sınıfta olanları bulunuz. (Remzi, Kaan, Nilgün)
b) Sınıfta var olan öğrenci sayısını bulunuz. (üç tane)
c) “Kaan sınıfta ise Pınar sınıfta değildir.” önermesinin doğruluk değerini bulunuz. (1 ⇒ 1 º1)

ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıda verilen açık önermelerin doğruluk kümelerini bulunuz.
a)  x -> …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …..

x2 -> …., 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, ….

-7 =< 4, 1, 0 < 8 

öyleyse D= {-2, -1, 0, 1, 2}
b) 1¹ = 1

2² = 4

3³ = 27

4⁴ = 64

0 =< 1, 4, 27 < 36

D= {1, 2, 3}
c) 2X + 4 = X + 1

X = -3 

D = {3}

Aşağıda verilen önermelerin değilini bulunuz.

 önermesinin karşıt tersini bulunuz.

p(x): “(-2x > 6) ⇒ (3x – 6 = 12)” önermesinin değilini bulunuz.

(-2x > 6)’ ⇒ (3x – 6 = 12)’

(-2x > 6)’ (‘v) (3x – 6 = 12)’

(-2x > 6)v(3x – 6 = 12)’

(-2x > 6)v (3x – 6 ≠ 12)

Aşağıdaki ifadelerden hangisi önerme değildir?
A) Merkür kızıl gezegen adıyla bilinir.
B) Türkiye yedi coğrafi bölgeye ayrılmıştır.
C) Hadi ders çalışalım.
D) 1.Dünya Savaşı İttifak Devletleri’nden birisi Alman İmparatorluğu’dur.
E) 3 bir rasyonel sayıdır.

Ünlem, soru vb. ifadeler önermeler olmaz. Çünkü ya doğru ya yanlış diyemeyiz. Ortada net bir şey yok.

Aşağıdaki önermelerden hangisinin olumsuzunun doğruluk değeri ‘‘1’’ dir?
A) Ankara Türkiye’nin başkentidir.
B) İki basamaklı 45 tane çift sayı vardır.
C) Üçgenlerin iç açıları toplamı 180 derecedir.
D) Tavşan uçan bir hayvandır.
E) Basketbol maçlarında her takım 5 oyuncu ile sahada mücadele eder.

p: ‘‘Fatih Sultan Mehmet İstanbul’u fethetti.’’ q: ‘‘İstanbul’un Fethi Orta Çağ’ı kapattı.” önermeleri kullanılarak aşağıdaki denklikler oluşturulmuştur.
I. p / q / 1
II. (p’ 0 q) / q’ / 0
III. (p 0 q)’ / 0
IV. (p / q’)’ 0 p’ / 0
Yukarıdaki denkliklerden hangileri doğrudur?
A) I – III B) II – IIl C) I – ll – III D) ll – III-IV E) I- II – IV

(p V q’) Λ (p V q) bileşik önermesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
A) p B) pl C) q D) ql E) 1

Çözüm->

(p V q’) Λ (p V q) ≡ p V (q Λ q’) ≡ p V 0 ≡ p

[p V (p’ Λ q)] Λ (p’ Λ q’) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?
A) p 0 pl B) 0 C) p / ql D) p E) 1

Çözüm->

[p V (p’ Λ q)] Λ (p’ Λ q’) 

(p V p’) Λ (p V q) Λ (p’ Λ q’) 

1 Λ (p V q) Λ (p V q)’   // (p Λ q) = x diyelim 

 1 Λ (X Λ X’)

1 Λ 0 

0

p => (q V r) ≡ 0 olduğuna göre (p’ => q) => (q’ => r’) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?
A) p B) q C) q’ D) 1 E) p’

Çözüm->

1 => 0 ≡ 0

p ≡ 1  q V r ≡ 0

p ≡ 1 q ≡ 0 r ≡ 0

(p’ => q) => (q’ => r’)

(0 => 0) => (1 => 1) 

1 => 1

1

(p => q) Λ (q’ => p) bileşik önermesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
A) p B) q C) 1 D) q’ E) p’

Çözüm->

p => q ≡ p’ V q özellik

(p => q) Λ (q’ => p)

(p’ V q) Λ  (q V p)

(p’ V q) Λ  (p V q) // Dağılma özelliği

(p’ Λ p) V q

0 V q

q

p: ‘‘Beyazla siyah zıt renklerdir.’’
q: ‘‘111 sayısı bir asal sayıdır.’’
r: ‘‘Balıklar suda yaşar.’’
Önermeleri kullanılarak aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerleri bulunmuştur.
I. (p => q) Λ r ≡ 0                    // (1 => 0) Λ 1  ≡ 0 Λ 1  ≡ 0 (D)
II. (p => q’) V r’ ≡ 0                  //  (1 =>1) V 0  ≡ 1 V 0 ≡ 1 (Y)
III. (q => p) => (r => p’) ≡ 1    // (0 => 1) => (1 => 0) ≡ 1 => 0 ≡ 0 (Y)  
IV. (p V q’) => (p Λ r) / 1          // (1 V 1) => (1 Λ 1) ≡ 1 => 1 ≡ 1 (D)
Yukarıdaki denkliklerden hangileri doğrudur?
A) I – III B) I – IV C) II – III D) II – IV E) I – III – IV

‘‘ Toplum duyarlı olursa engellilere engel kalmaz.’’ önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
A) ‘‘Toplum duyarlı olmaz ise engellilere engel kalmaz.’’
B) ‘‘Toplum duyarlı olursa engellilere engel kalır.’’
C) ‘‘Toplum duyarlı olmazsa engellilere engel kalır.’’
D) ‘‘ Toplum duyarlı olur ve engellilere engel kalır.’’
E) ‘‘Toplum duyarlı olur veya engellilere engel kalmaz.’’

p = Toplum suyarlı olur

q = Engellilere engel kalır

p => q’ ≡ p’ V q

 (p => q)’ ≡ p V q’

Toplum duyarlı olur ve engellilere engel kalır.

Matematik öğretmeni İhsan Bey, Beyhan’ı tahtaya kaldırarak `p => (q Λ p’) önermesinin olumsuzunu en sade biçime getirmesini istiyor. Beyhan çözüm için aşağıdaki adımları izliyor.
I. [p => (q Λ p’)]’ ≡p’ V (q Λ p’)’      (özellik)
II.                       ≡ p’ V (q’ V (p’)’)   (D)
III.                      ≡p’ V (q’ V p)       (D)
IV.                       ≡ (p’ V p) V q’       (D)
V.                        ≡ q’                      (1 olması gerekiyor Y)
Beyhan kaçıncı adımda hata yapmıştır?
A) I B) II C) III D) IV E) V

SORULAR

a ≡ 0

b ≡ 1

x ≡ 0

y ≡ 1

Tabloda verilenlere göre aşağıdaki denkliklerden hangileri doğrudur?
I. a ⇔ b ≡ 1      /   (0 ⇔ 1 ≡ 0)
II. x ⇔ y ≡ 0    /    (0 ⇔ 1 ≡ 0)
III. a ⇔ x ≡ 1  /    (0 ⇔ 0 ≡ 1)
IV. b ⇒y ≡ 0    /    (1 ⇒ 1 ≡ 1)
A) I-II B) II-III C) III-IV D) II-IV E) I-IV

12.

(D) I. p ⇔ p’ / 0                              |  0 ⇔ 1 ≡ 0      1 ⇔ 1 ≡ 0
(D) II. (p ⇔ q)’ ≡ p’ ⇔ q                  | Özellik
(Y) III. p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) V (q ⇒ p)    | p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p) 
(D) IV. p ⇔ 1 ≡ p                           | 1 ⇔ 1 ≡ 1    0 ⇔ 1 ≡ 1
Yukarıdaki denkliklerden hangileri doğrudur?
A) I-Il B) I-IIl C) lI-IV D) I-II-lll E) I-II-IV

p: ‘‘x=2’’
q: ‘‘x2-4=0’’
r: ‘‘x=-2’’
önermeleri veriliyor.
I. (p & q) / (q & r)
II. (p 0 r) & q
III. q & (p 0 r)
IV. q + (p 0 r)
Yukarıdaki bileşik önermelerden hangilerinin doğruluk değeri ‘‘1’’ dir?
A) I-II-IV B) I-II-II C) II-III-IV D) I-III E) I-III-IV

p(x): “x tam sayı, 2x + 1 ≤ 9” açık önermesi için p(-1), p(2) ve p(5) ifadelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1, 0, 1 B) 0, 1, 0 C) 1, 1, 0 D) 1, 1, 1 E) 0, 0, 1

Çözüm->

p(-1) : 2.(-1)+1 = -1 =< 9   D (1)

p(1) : 2.2+1 = 5 =<9 D (1)

p(2) : 2.5+1 = 11 =< 9 Y (0)

q(x): “x gerçek sayı, 1 < x ≤ 2” açık önermesi veriliyor. Aşağıdaki sayılardan hangisi bu önermenin
doğruluk kümesinin bir elemanıdır?

Cevap: D

1 < x ≤ 2

1’den büyük 2’den küçük veya eşit sayılar bulmalıyız.

O sayıda 13 / 12 = 1,08

 1 < 1,08 ≤ 2

16.

p ⇔ (p ⇔ 0)             | p ⇔ p’ ≡ 0
II. p V (p ⇒ q)                | p V (p’ V q) ≡ (p V p’) V q  ≡ 1 V q ≡ 1
III. (p V q’) Λ (p V q’)’     l p V q’ = x olsun   (p V q’) Λ (p 0 q’) ≡ x Λ x’ ≡ 0
IV. q’ V (p ⇒ q)              | q’ V (p’ V q) ≡ p’ V (q’ V q) ≡ p’ V 1 ≡ 1
Yukarıda verilen önermelerin kaç tanesinin doğruluk değeri 1 dir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

I. `6x ! R, x4 + 1 2 0_
II. `7x ! Z, 5x – 4 = 16_
III. `6x ! N, 3x – 1 = 2_
IV. `7x ! Z, 4×2 + 3 # 0_
Yukarıda verilen önermelerin kaç tanesinin doğruluk değeri 0 dır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

I. p(x):`7x ! N, 3x – 4 2 0_ &pl (x):`6x ! N, 3x – 4 1 0_
II. q(x):`6x ! Z, 5x – 4 = 16_ &ql (x):`7x ! Z, 5x – 4 ! 16_
III. r(x):`7x ! R,7x + 3 # 1_ &rl (x):`6x ! R,7x + 3 2 1_
Yukarıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
A) Yalnız I B) Yalnız ll C) l-ll D) l-lll E) ll-lll

?  önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap: D

ALIŞTIRMALAR

Aşağıdakilerden hangisinin bir küme belirttiğini bulunuz.
a) Ankara’nın bazı ilçeleri  (iyi tanımlanmamış)
b) Akif Palalı Lisesi öğretmenleri (Net olarak bellidir) 
c) Okulumuzdaki bazı zayıf öğrenciler (Hangi öğrenciler olduğu net bir şekilde belirtilmemiş)
ç) Ülkemizdeki matematik profesörlerinden üçü (Hangi üçü net değil)

A = {a, b, c, {d, e}} kümesi için
(D) I. a Î A
(D) II. s{A} = 4
(Y) III. d Î A (Çünkü {d,e} bir bütün olarak eleman, burada d’yi ayıramayız)
(D) IV. {d, e} Î A
bilgilerinden hangilerinin doğru olduğunu bulunuz.

‘‘HAKKARİ’’ sözcüğündeki harfleri H kümesi adıyla liste ve Venn şeması yöntemi ile gösteriniz.

Çözüm->

H= {H, A, K, R, İ}

Aşağıdaki kümelerin yanına sonlu küme ya da sonsuz küme kavramlarından uygun olanı yazınız.

a) A = {x | x2 < 16, x tam sayı} (sonlu, çünkü karesi 16’dan küçük olan sayılar sayılabilir.)
b) B = {x | x, 100 den küçük asal sayılar} (sonlu, çünkü 100’den küçük sayılar sayılabilir. )
c) C = {x | x, en az iki basamaklı doğal sayılar} (sonsuz, sayılamaz, {10, 11 … 100, 1000 ….})
ç) D = {x | x, 3 ün veya 5 in katı olan tam sayılar} (sonsuz, {…, -5, -3, 0, 3, 6, 10, 15 ,,,})

Aşağıdakilerden hangileri boş küme belirttiğini bulunuz.

a) A = {a | -3 < a < 2, a bir asal sayı} (Boş Küme)
b) B = {x | x, haftanın p veya c harfi ile başlayan günleri} (Boş Değil) {pazar, pazartesi, salı}
c) C = {O} (Boş Değil, bu kümede boş küme elemanı burada bir eleman sayılır.) 
ç) D = {x | x, karesi 3 olan rakamlar} (Boş Küme, çünkü rakamların hi. birinin karesi 3 olamaz)

ALIŞTIRMALAR

A = {a, b, c, {d}} kümesi için
I. d Î A
II. {a}Î A
III. {b} ⊊ A
IV. {c}, {d} Î A
bilgileri veriliyor. Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangilerinin doğru olduğunu bulunuz.

Yalnız IV doğrudur.

Alt kümelerinin sayısı ile kendisi hariç alt kümelerinin sayısının toplamı 63 olan kümenin kaç elemanlı olduğunu bulunuz.

Çözüm->

2ⁿ + 2ⁿ -1 = 63

2ⁿ = 64

2ⁿ = 32 = 2⁵

n = 5

A = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
I. a ve b nin eleman olarak bulunduğunu,
II. a veya b nin eleman olarak bulunduğunu,
III. a ve b den yanlız birinin eleman olarak bulunduğunu,
IV. a elemanının bulunup, b elemanının bulunmadığını,
V. En çok bir sesli harfin bulunduğunu hesaplayınız.

C = {a, b, c, ç, d, e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir sesli harfin bulunabileceğini bulunuz.

Çözüm->

Tüm alt küme = 2⁶ = 64

Sesli harfin olmadığı = 2⁴ = 16

En az bir sesli harf 64 – 16 = 48

D = {x | -2 ≤ x < 9, x = 2n ve n Î Z } kümesinin alt küme sayısını bulunuz.

Çözüm->

D= {2, 0, 2, 4, 6, 8}  s(B) = 6   2⁶ = 64

A = {1, 2} ve B = {1, 2, 3, 4, 5} kümeleri veriliyor. A 3 K 3 B olmak koşulu ile
a) Kaç farklı K kümesinin yazılabileceğini, 2³ = 8
b) A dan farklı kaç tane K kümesinin yazılabileceğini, 8 – 1 = 7
c) A ve B den farklı kaç tane K kümesinin yazılabileceğini hesaplayınız. 8 – 2 = 6 

1.

A = {1, 3, 5}

B = {x | x, ANKARA kelimesindeki harfler} = {A, N, K, R}

C = {x | x, 7 den küçük tek sayma sayıları} = {5, 3, 1}

D = {C, A, N, K, R}

kümeleri veriliyor. Bu kümelerle ilgili;

A = C  ll. A = D   lll. A ≠ B lV. B = C

ifadelerinden hangilerinin doğru olduğunu bulunuz.

Aşağıdaki ifadelerin sonlarındaki boşluğa doğru olanlar için “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.

a) Eleman sayıları aynı olan kümelere eşit kümeler denir.(Y)

b) Eşit kümelerden biri diğerini kapsar. (D)

c) A M B ise A ! B dir. (D)

ç) Alt küme sayıları eşit olan kümeler daima eşit kümelerdir.(Y)

d) A 3 B ve A 4 B ise A = B dir. (D)

s(A) = 3 + x ve s(B) = 15 – 2x olarak verilen A ve B kümeleri eşit kümeler ise x in değerini bulunuz.

Çözüm->

3 + x = 15 – 2x

x+2x = 15 – 3

3x = 12

x = 4

ALIŞTIRMALAR

Yanda verilen Venn şemasına göre aşağıda istenilen kümeleri liste yöntemi ile yazınız.
a) A = ?           A = {1, 2, 3, 4, 5}
b) B = ?           A = {4, 5, 6, 4}
c) A ∪ B = ?  A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
ç) A ∩ B = ?    A ∩ B = { 4, 5}
d) B A = ?     B A = {6, 7}

Yanda verilen Venn şemasına göre aşağıda istenilen kümeleri liste yöntemi ile yazınız.
a) A’= ?                A’= {d, e, f}
b) B’ = ?              B’=  {a, b}
c) (A ∩ B)’= ?      (A ∩ B)’ = {a, b, c, d, e, f}
ç) (A ∪ B)’ = ?      (A ∪ B)’ = { }   
d) E’ = ?               E’ = { } 

A = {x | x , tek doğal sayılar} = {1, 3, 5 ……..}
B = {x | x , çift tam sayılar} = {………-2, 0, 2, 4, 6 …….}
C = {x | x , pozitif tam sayılar} = {1, 2, 3, 4, 5……………}
kümeleri veriliyor. Buna göre hangi kümelerin ayrık küme belirttiğini bulunuz.

A∩B=∅ boş olduğu için A ve B ayrı kümelerdir.

Yandaki şemada sayılar bulundukları bölgeye ait eleman sayılarını belirtmektedir. Buna göre
a) s(A ∪ B) = ? 2+5+3 =10
b) s(A ∩ B) = ? 2
c) s(A B) + s(B A) değerini bulunuz. 5+3 =8

25 kişilik bir sınıfta
• 10 kişi matematik dersinden başarılıdır.
• 16 kişi Türkçe dersinden başarılıdır.
• 7 kişi her iki dersten de başarısızdır.
Verilenlere göre bir Venn şeması çizerek eleman sayılarını uygun bölgelere yazınız.

Aşağıda verilen Venn şemalarının içini altında belirtilen kümeleri gösterecek şekilde tarayınız.

Aşağıda verilen Venn şemasına göre istenilenleri bulunuz.

a) H = ? H= {1, 2, 3}

b) EH’ = ?  EH’ = {1, 2, 3}

c) E (H ∩M)’ = ? E (H ∩ M)’ = {1, 4, 5, x, y, t=

ç) s(M) + s(M’) = ? s(M) + s(M’) = 5+3=8

A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere
Buna göre s(A ∪ B) = 60 ise s(B A) nı bulunuz.

A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre [A ∪ (B ∩ A)’] ∩ [B’ ∩ (A ∪ B)] kümesini en sade şekilde yazınız.

[A ∪ (B ∩ A)’] ∩ [B’ ∩ (A ∪ B)]  

A ∪ A’ ∪ B’ = E

A ∪ A’ ∪ B’ ∩ (A B)  

E ∩ (A B) = A B

A ∪(B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) olduğunu sembolik mantık kurallarını kullanarak gösteriniz.

A ∩ A’ = ∅ olduğunu sembolik mantık kurallarını kullanarak gösteriniz.

Çözüm->

P Λ P’ º ∅  

1 Λ 0 º 0

0 Λ 1 º 0

A º P 

(E  A)’ = A olduğunu sembolik mantık kurallarını kullanarak gösteriniz.

Çözüm->

(E ∩ A’)’ º (1 Λ P’)’ º (P’)’ º P º A

A º P

(A ∩ B’) ∩ (A ∪ B)’ küme işlemini sembolik mantık kurallarını kullanarak en sade biçime getiriniz.

ALIŞTIRMALAR
1. Bir tatlıcıya giden 20 kişiden 12 si künefe, 9 u baklava, 5 i hem künefe hem baklava yemiştir. Buna göre bu grupta tatlı yemeyen kaç kişi olduğunu bulunuz.

Çözüm->

S(K ∪ B) = 12+9-5= 16

20-16 = 4

34 kişinin çalıştığı bir şirketin dinlenme saatinde,
• 21 kişi çay içmiştir.
• 16 kişi kahve içmiştir.
• Çay ve kahve içen kişi sayısı, çay veya kahve içmeyenlerin sayısının 2 katıdır.
Buna göre sadece çay içen kaç kişi olduğunu bulunuz.

Bir fatura ödeme merkezinde sadece elektrik, su ve telefon faturaları ödenmektedir. Bu fatura ödeme merkezine bir saat içinde gelen 25 kişiden
hepsi elektrik faturası ödemiştir. Farklı türde iki fatura ödeyen 17 kişi, farklı türde üç fatura ödeyen 5 kişi olduğuna göre sadece elektrik faturası ödeyen kaç kişi olduğunu bulunuz.

Bir halk eğitim merkezinde diksiyon, ebru ve el sanatları kursu açılmıştır. Bu kurslardan en az birine katılan 38 kişiden 20 si diksiyon, 18 i ebru ve
19 u el sanatları kursunu tamamlamıştır.
• Diksiyon ve ebru kursunu tamamlayan 6 kişi,
• Diksiyon ve el sanatları kursunu tamamlayan 9 kişi,
• Ebru ve el sanatları kursunu tamamlayan 7 kişi vardır.
Verilenlere göre her üç kursuda tamamlayan kaç kişi olduğunu bulunuz.

38 = 20 + 18 + 19 – 6 – 9 -7 + x

x = 3

Sınıfça yemek yemeye giden bir grup öğrenciden 14 ü et döner 16 sı tavuk döner yemiştir. Soslu döner yiyen 18 kişi olup soslu et döner yiyenlerin
sayısı sossuz tavuk döner yiyenlerin 2 katıdır. Her öğrenci birer döner yediğine göre bu sınıfta soslu tavuk döner yiyen kaç öğrenci olduğunu
bulunuz.

Arapça, Farsça ve Türkçe dillerinden yalnız birini bilenlerden oluşan bir kafilede Arapça bilmeyen 17, Farsça bilmeyen 15 ve Türkçe bilmeyen 10
kişi vardır. Bu kafilede Türkçe bilen kaç kişi olduğunu bulunuz.

30 kişilik bir sınıfta fizik dersinden başarılı herkes matematik dersinden de başarılı, matematik dersinden başarılı herkes Türkçe dersinden de başarılıdır.
• Türkçe dersinden başarısız öğrenci yoktur.
• Yanlız iki dersten başarılı öğrenci sayısı üç dersten de başarılı öğrenci sayısının iki katı, yalnız bir dersten başarılı öğrenci sayısından 5 fazladır.
Verilenlere göre en az iki dersten başarılı olan öğrenci sayısını bulunuz.

ALIŞTIRMALAR

Yandaki grafikte verilen A, B, C, D, E noktaları farklı adaları göstermektedir. Orijinde bulunan geminin kaptanı gemisini A noktasındaki adaya götürecektir. Ancak adaya ulaştığında kaptan adanın koordinatlarının birinci ve ikinci bileşenlerinin yerini karıştırıp farklı bir adaya geldiğinin farkına varmıştır. Buna göre kaptanın gemisini hangi adaya götürdüğünü bulunuz.

Çözüm->

A(10,40)

E(40,10)

(x, y) sıralı ikilisinde x ve y birer rakam olmak üzere x + y nin en çok kaç olabileceğini bulunuz.

Çözüm->

9+9=18

(2^x-2,27) = (64,3^1–y) eşitliğinde x – y nin değerini bulunuz.

Çözüm->

2^x-2 = 64 = 2⁶

x-2 = 6

b = 8

1 – y = 3

y = 2

x-y = 8 – (-2) = 10

A = {x | x , rakamlar kümesi} ve B = {x | x , 10 dan küçük ve 2 nin doğal sayı kuvvetleri} dir. Bu durumda s(AxB) değerini bulunuz.

Çözüm->

A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} s(A) = 10

B = {1,2,4,8} s(B) = 4

s(AxB)= s(A) x s(B) = 10 x 4 = 40

A = {x | -1 < x < 4, x Î N }
B = {y | y2 < 9, y Î Z } ve
C = {x | x , 6 nın pozitif tam sayı çarpanları} kümeleri veriliyor. AxB, AxC, CxB ifadelerini dik koordinat sisteminde gösteriniz.

A = {x | 12 < x < 200, x = 5n, n Î Z } ve B = {x | x , alfabemizdeki ünlü harfler} ise s(AxB) değerini bulunuz.

Çözüm->

A = {x | 12 < x < 200, x = 5n, n Î Z } = { 15,20,25…..195} -> s(A)= (195-15) / 5 + 1 = 37

s(B)= {a,e,u,ü,o,ö,i,ı} = 8

s(AxB)= 37 x 8 = 296

(3x + 4y , 2) =(5 , 4x + 3y) eşitliğine göre x + y değerini bulunuz.

Çözüm->

3x + 4y = 5

4x + 3y = 2

7x + 7y = 7

7(x+y) = 7

x+y= 1

A = {x | x 2 – 2 ifadesini bileşik kesir yapan pozitif tam sayı} B = {x | x2 < 5, x pozitif tam sayı} Aşağıdaki grafiklerden hangisi AxB ye aittir?

ÖLÇME DEĞERLENDİRME

I. A = {x | x , HAKAN sözcüğündeki harfler} ise s(A) = 4 tür.
II. B = { Æ } ise s(B) = 0 dır.
III. C = {y | 1 < y < 7, y iki basamaklı doğal sayı} ise s(C) = 0 dır.
Yukarıda verilenlerden hangisi veya hangileri doğrudur?
A) Yalnız l B) Yalnız lll C) l ve ll D) ll ve lll E) l ve lll

A = {x | x ≤ 5, x bir rakam} ise
I. {2} Î A
II. {1,2} ⊊A
III. s(A) = 6 dır.
IV. A nın alt küme sayısı 32 dir.
Yukarıda verilenlerden hangisi veya hangileri doğrudur?
A) ll ve lll B) l ve lV C) ll ve lV D) l ve lll E) lll ve lV

A = {a | a yı tam bölen farklı pozitif tam sayılar} kümesi veriliyor. s(A) = 4 şartını sağlayan a değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 9 B) 16 C) 27 D) 36 E) 45

A = {a, b, c, d, {1, 2, 3, 4}} alt kümelerinin kaç tanesinde b elemanı bulunup c elemanı bulunmaz?
A) 64 B) 32 C) 16 D) 8 E) 4

A = {a, b, c} ve B = {a, b, c, 1, 2, 3} kümeleri veriliyor. B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar?
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64

a Î A ve b Î A olmak üzere , a ve b elemanlarından yalnız birinin bulunduğu alt küme sayısı 32 ise A nın kendisi hariç alt küme sayısı kaçtır?
A) 15 B) 31 C) 32 D) 63 E) 64

A ve B boş kümeden farklı iki küme olsun. A Ç B nin alt küme sayısı 1, A B nin alt küme sayısı 8, A È B nin eleman sayısı 9 ise B A nın alt küme sayısı kaçtır?
A) 5 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64

A = {x | x ≤ 40, x = 2n, n Î N } kümesi veriliyor.
I. B = {x | x , 41 den küçük çift pozitif tam sayı}
II. C = {x | x , 42 den küçük çift doğal sayı}
III. D = {x | x, 40 tan küçük pozitif tam sayı}
Yukarıda verilenlerden hangisi ya da hangileri A kümesine eşittir?
A) Yalnız l B) Yalnız ll C) l ve ll D) ll ve lll E) l-ll-lll

Yukarıdaki Venn şemasına göre s (A Ç B’) + s(B’) toplamı kaçtır?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

A ⊊ E, A ¹ Æ ve A ¹ E olmak üzere
I. A Ç A’
II. A È A’
III. A Ç E
IV. A’ Ç E
ifadelerinden hangisi ya da hangileri boş küme belirtir?
A) Yalnız l B) l ve lV C) ll ve lll D) lll ve lV E) l ve ll

A = {x | x, 3 veya 4 ün katı olan iki basamaklı doğal sayı} B = {x | x, 12 ile bölünebilen iki basamaklı doğal sayı} ise s(A) – s(B) kaçtır?
A) 52 B) 48 C) 44 D) 36 E) 35

A = {x | 13 < x < 70, x = 3k, k Î N }
B = {y l 2 ≤ y < 50, y = 5k, k Î N } ise s(A È B) kaçtır?
A) 39 B) 35 C) 32 D) 28 E) 25

Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için s(A , B) = 2.  s(A + B) = 3.s(A = B) ise ( ) ( ) s B s B = A değeri kaçtır?
A) 5/2
B) 4/3
C) 4/1
D) 5/1
E) 5/2

A ve B kümeleri için s(A B’) = 5 , s(A) = 8 ve s(A , B) =17 ise s(B) nın değeri kaçtır?
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

24 kişilik bir sınıfta kimya veya fizik derslerinden geçenler ile kalanlar vardır. Kimya veya fizik derslerinden kalanların sayısı 4, yalnız bir dersten geçen 12 kişi ise her iki dersten geçen kaç kişi vardır?
A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 14

40 kişilik bir spor kulübünde,
• Yalnız basketbol oynayanların sayısı, futbol oynayanların sayısına eşittir.
• Yalnız futbol oynayanların sayısı, futbol veya basketbol oynamayanların sayısına eşittir.
• Futbol veya basketbol oynamayanların sayısı, her iki oyunu oynayanların 2 katına eşittir.
Bu kulüpte futbol ya da basketbol oynayan kaç kişi vardır?
A) 35 B) 30 C) 28 D) 25 E) 20

17.Yukarıdaki Venn şemasında verilen taralı bölgeleri ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir?
A) (A , C) (B , C)
B) (A , B)’ C
C) (A , B) C
D) (A + B) C
E) (A + B)’ (B + C)’

A = {1, 2} ve B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. A 3 K 3 B ise K ≠ A olmak üzere kaç farklı K kümesi vardır?
A) 7 B) 15 C) 16 D) 31 E) 32

A, B 3 E olmak üzere 6E = (A = Bl) + (Al + Bl)@l ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) A B B) B A C) E D) A E) B

Yukarıdaki Venn şemasında verilen taralı bölgeler aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?
A) (A B) , (B , C)
B) (A + B + C ) , (A B)
C) A , (A + B)
D) (B + C) , A
E) (A(B , C)) , (A + B + C )

A = {1, 2, 3, 4} kümesi veriliyor. (A B) , (B A) = {0, 2, 4, 6, 8} olduğuna göre B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A = {-1, 0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ve C = {2, 3, 4} tür. AxB ve BxC kümelerinin kaç tane ortak elemanı vardır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A = {(x, y) | y=3x + 1, x ve y rakam} kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

A = {-1, 0, 2, 3} ve B = {2, 3, 5} kümeleri veriliyor. AxB grafiğindeki noktalardan herhangi dördünü köşe kabul ederek çizilebilen en büyük alanlı dikdörtgenin çevresi kaç birimdir?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14

A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere 3 . s(A B) = 6 . s(A + B) =2 . s(B + Al ) ve s(A , B) = 42 ise s(A) nın değeri kaçtır?
A) 7 B) 14 C) 21 D) 23 E) 25

ALIŞTIRMALAR

6/5 sayısının N,Z,Z⁺,Z^–,Q,Q’,Q⁺,Q^–,R,R⁺,R^– sembolleri ile gösterilen sayı kümelerinin hangilerinin elemanı olduğunu bulunuz.

Cevap–> Q, Q⁺ , R, R⁺

x ve y birer tam sayı olmak üzere

(D) a) x² + y³ 

(Y) b) x/y

(D) c) -4 . x³ . y⁵

(Y) ç) √ x . y – 6

(D) d) x^y

ifadelerinden hangilerinin daima bir rasyonel sayı belirttiğini bulunuz.

3. m ve n birer pozitif tam sayı olmak üzere 2m + 3n = 25 eşitliğini sağlayan n sayısının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamını bulunuz.

En büyük m = 2 için

2m + 3n = 25 -> 2 . 2 + 3n = 25 -> 3n = 25 – 4

n = 21 / 3 = 7 

En küçük m = 11 için

2m + 3n = 25 -> 2 . 11 + 3n = 25 -> 3n = 25 – 22

n = 3 / 3 = 1

a, b, c birer negatif tam sayı olmak üzere
a . b = 24
b . c = 30 ise a + b + c toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz.

En küçük

a = -24

b = -1 

c = -30

a + b + c = -24 + (-1) + (-30) = -55

En büyük

a = -4

b = -6 

c = -5

a + b + c = -4 + (-6) + (-5) = -15

a, b ve c birer doğal sayı olmak üzere a + b + c = 18 ise a . b . c ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz.

En küçük

a = 0

b = 0 

c = 18

a . b . c = 0 . 0 . 18 = 0

En büyük

a = 6

b = 6 

c = 6

a . b . c = 6 . 6 . 6 = 216

a, b ve c birer tam sayı olmak üzere a . b . c = 75 ise a + b + c ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz.

En küçük

a = -75

b = -1

c = 1

a + b + c = -75 + (-1) + 1 = -75

En büyük

a = 75

b = 1

c = 1

a + b + c = 75 + 1 + 1 = 77

x ve y sayıları birer gerçek sayı olmak üzere x + y = 7 ise x ∙ y ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

x = 7/2

y = 7/2

x . y = 7/2 . 7/2 

x . y = 49 / 4

a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılar olmak üzere a + 2b + 3c ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

a = 3

b = 2

c = 1

a + 2b + 3c = 3 + 2.2 + 3.1 = 3 + 4 + 3 = 10

a ve b tam sayılar olmak üzere a . b = 6 denklemini sağlayan kaç tane (a , b) sıralı ikilisi olduğunu bulunuz.

(a,b) = (1,6), (6,1), (3,2), (2,3), (-1,-6), (-6,-1), (-3,-2), (-2,-3)

Toplam 8

a ve b birer tam sayı olmak üzere (a + 3) √ 2 + (b – 5) √7 ifadesinin bir rasyonel sayı belirtebilmesi için a ∙ b değerini bulunuz.

a + 3 = 0 –> a = -3

b – 5 = 0 –> b = 5

a . b = -3 . 5 = -15

ALIŞTIRMALAR

Aşağıda verilen kümeleri aralık biçiminde yazıp sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.

a) A={x | -4 < x ≤ 8, x ∈ R }

b) B={x | x < 7, x ∈ R }

c) C={x | -8 < x < 0 , x ∈ R }

Aşağıda sayı doğrusu üzerinde kırmızı renk ile gösterilen kümeleri aralık biçiminde yanlarındaki boşluklara yazınız.

A = [-7,0) ve B = (-2, ∞) olmak üzere aşağıdaki istenilenleri aralık belirtecek şekilde cevaplandırınız.

a) A ∩ B = ?

b) A ∩ B = ?

c) (A B)’ = ?

ç) (AUB)’ = ?

A={x | x < 5, x ∈ R } olarak veriliyor. Buna göre aşağıdaki istenilenleri aralık belirtecek şekilde cevaplandırınız.

a) R U A = ?

b) R ∩ A = ?

c) (R A) = ?

ç) (R A)’ = ?

ALIŞTIRMALAR

-6 ∙ (2x + 4) + 4x = 8x + 40 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm->

-12x – 24 + 4x = 8x + 40

-8x -8x = 40 + 24

-16x = 64

x = -4

3x – 5 – [x + 6 – 2(9 + 3x)] = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm->

3x – 5 – [x + 6 – 2(9 + 3x)] = 0

3x – 5 – x – 6 + 18 + 6x  = 0

8x + 7 = 0

8x = -7 

x = -7/8

[(2x + a -5) / (ax – 7)] = x +1 / x – 1  denkleminin kökü 4 olduğuna göre a değerini bulunuz.

Çözüm ->

x’in yerine 4’ü yazalım

[(2x + a -5) / (ax – 7)] = x +1 / x – 1 

(2.4 + a – 5 / a. 4 – 7) = 4 + 1 / 4 – 1

(8 + a – 5 / 4a – 7) = 5 / 3

(3 + a / 4a – 7) = 5 / 3

İçler dışlar çarpımı yapalım

20a – 35 = 9 + 3a 

20a – 3a = 9 + 35

17a = 44

a = 44 / 17 

m, n d R olmak üzere -m ∙ (2x – 6) + 6x – n = 0 denkleminin çözüm kümesinin tüm gerçek sayılar olabilmesi için m ve n değerlerini bulunuz.

x E R olmak üzere -2 ≤ x – 4 / 3 < 4 ise x in değer aralığını bulup sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.

Çözüm ->

-6 ≤ x – 4 < 12

-2 ≤ x < 16

<————– -2……………………….16 ———>

a d R olmak üzere -4 < a ≤ 5 eşitsizliği veriliyor. -3a + 7 ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değerinin olduğunu bulunuz.

Çözüm -> 

– 15 ≤ -3a < 12

-8 ≤ 3a + 7 < 19

19 – (-8) = 27 tane

x, y E R olmak üzere

5 < x – 2 ≤ 9 -> 7 < x ≤ 11

-3 ≤ y + 3 ≤ 6  -> -6 ≤ y ≤ 3 -> -3 ≤ -y ≤ 6

eşitsizlikleri veriliyor. Aşağıdaki ifadelerin değer aralıklarını bulunuz.
a) x + y — > 1 < x + y ≤ 14
b) x – y –> 4 < x – y ≤ 17
c) x . y –> -66 ≤ x . y ≤ 33
ç) 2x – 3y

14 < 2x ≤ 22

-9 ≤ -3y ≤ 18

Toplayalım 

5 < 2x – 3y ≤ 40

3x – 6 ≤ 4x + 2 < 2x + 10 eşitsizliğini sağlayan x gerçek sayılarının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri olduğunu bulunuz.

ALIŞTIRMALAR

1. Aşağıda verilen ifadeleri mutlak değer dışına çıkarınız.

1. a) x ∈ R ve x > 0 ise |5x + 7|
2. b) x ∈ R ve x < 0 ise |3a – |- a||
3. c) a, b ∈ R ve 0 < a < b ise |a – b| – |b – a|

ç) x, y ∈ R ve x < y < 0 ise |x + y| + |- x| – |y|

1. a) x ∈ R ve x > 0 ise |5x + 7| dışarı 5x+7 olarak çıkar çünkü x zaten pozitif bir sayıdır dolayısıyla 5x+7 de pozitiftir dışarı aynı şekilde çı

1. b) x ∈ R ve x < 0 ise |3x – |- x||

I-xI dışarıya -x olarak çıkar çünkü x negatif bir sayıdır önüne – işareti gelince pozitif olur. I3x-(-x) I=I4xI oldu, I4xI dışarıya pozitif olması için -4x olarak çıkar

1. c) a, b ∈ R ve 0 < a < b ise |a – b| – |b – a|

(a-b) negatif bir sayıdır çünkü b a dan büyüktür.Bu yüzden Ia-bI dışarıya önüne – alarak b-a olarak çıkar.

(b-a) pozitif bir sayıdır çünkü b a dan büyüktür.Bu yüzden Ib-aI dışarıya pozitif olduğu için aynı şekilde çıkar b-a olur.

(b-a)-(b-a)=0 olur.

1. d) x, y ∈ R ve x < y < 0 ise |x + y| + |- x| – |y|

Ix+yI ifadesi x ve y negatif olduğu için negatif bir sayıdır ve mutlak değer dışına önüne – alarak çıkar -x-y olur

x negatif bir sayı olduğu için -x pozitif bir sayıdır bu yüzden I-xI ifadesi dışarıya aynı şekilde -x olarak çıkar

y negatif bir sayıdır bu yüzden IyI dışarıya önüne – alarak çıkar -y olur

-x-y-x-(-y)=-2x oldu

2. Aşağıda verilen mutlak değerli denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

1. a) x ∈ R , |- 2x + 7| = 11
2. b) x ∈ R , |- 7x + 17| = -2
3. c) a ∈ R , |5a – 20| = 0

ç) b ∈ R , |- 3b| + |2b| – 20 = 0

1. a) Mutlak değerin içini önce 11’e daha sonra da -11’e eşitleyerek işlem yapacağız. Mutlak değer bütün sayıları pozitif yaptığından dolayı içindeki sayıların negatif olma ihtimalini de düşünmüş oluyoruz böylece.

-2x + 7 = 11

-2x = 4

x = -2

-2x + 7 = -11

-2x = -18

x =9

Bu işlemlerden anlarız ki x’in -2 ve 9 olmak üzere iki değeri olabilir.

1. b) Mutlak değerin eşit olduğu sayı hiçbir zaman negatif olamayacağı için x yerine hangi sayıyı yazarsak yazalım bu ifade sağlanamaz. Yani x değerini sağlayan elemanlar kümesi aslında bir boş kümedir.

1. c) Mutlak değerin içindeki sayı 0 ise eşit olduğu sayı da 0 olur. O halde;

5a – 20 = 0

5a = 20

a = 4 olmalıdır.

ç) Bu soruyu çözerken iki ihtimal için işlem yapmalıyız. b sayısı negatif veya pozitif olabilir. Her ikisini de değerlendirmeliyiz.

* b < 0

-3b -2b = 20

-5b = 20

b = -4

* b > 0

3b + 2b = 20

5b = 20

b = 4

Yaani b sayısı -4 veya +4 olabilir.

3. Aşağıda verilen mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

1. a) x ∈ R , |5x – 5|< 10
2. b) a ∈ R , |7a – 13| < 0
3. c) a ∈ R , |6a – 12| < -7

ç) a ∈ R , |2a – 2| – 8 ≤ 0

1. d) x ∈ R , |x + 6| > 0
2. e) x ∈ R , 6 ≤ |x – 8| ≤ 10
3. a) |5x – 5| = 10

Mutlak değerin içinin negatif veya pozitif olmasına göre işlemi iki kere yapacağız.

* -5x + 5 =10

-5x = 15

x = -3

* 5x – 5 =10

5x = 15

x = 3

Bu sayılar mutlak değerin içini 0 yapan sayılardır. Yerine yazdığımızda 10’dan küçük gelmesi gerektiği için x çözüm kümesi (-3 , +3) olarak bulunur.

1. b) Bu ifade mutlak değerin sonucunun 0’dan küçük olmasını istiyor bizden. Ancak mutlak değer sonucu her zaman pozitif olduğu için bu ifade yanlıştır. x yerine yazılabilecek bir sayı yoktur. x kökleri boş kümeyi ifade eder diyebiliriz.

1. c) | x + 6| > 0

Mutlak değerin sonucu her zaman pozitiftir. Mutlak değer içini 0 yapan değer hariç tüm sayılar x değeri olabilir. Yani x “-6” hariç tüm sayılardır.

ç) Bu seçeneği değerlendirirken mutlak değer içindeki sayının negatif olması ihtimalini de düşüneceğiz. Şöyle düşünebiliriz; (x-8) sayısı mutlak değer içinde olduğu için dışarıya daima pozitif çıkacaktır. x yerine yazdığımız değer sonucu bu sayı 6 da olabilir -6 da olabilir ancak sonuç her zaman 6 olmalıdır.

* 6 ≤ x-8 ≤ 10

14 ≤ x ≤ 18

Bu işlemlerden x sayısı 14, 15, 16, 17 ve 18 çıkar.

* -6 ≥ x-8 ≥ -10

2 ≥ x ≥ -2

Bu işlemlerden de x sayısı 2, 1 , 0, -1 ve -2 olarak bulunur.

x yerine 10 tane sayı yazılabilir ve bu sayılar {-2,-1,0,1,2,14,15,16,17,18}’dir.

4. A, x ∈ R olmak üzere A = |x + 4| + |x – 2| + |x – 7| ise A nın en küçük değerini bulunuz.

x yerine yazdığımız sayı sonucu A sayısının en küük değerini almasını istiyoruz. Öyleyse yapmamız gereken şey büyük sayıları olabildiğince küçültmektir. Örneğin x yerine 7 yazarsak bir ifadeyi yok etmiş oluruz ancak 7+4 ile çok büyük bir sayı elde ederiz.

Dengeyi sağlayacak ortalarda bir sayıya ihtiyacımız var. x yerine 1 yazarsak A sayısı 5+1+6=12 olur. Sayımız gayet küçüldü. Emin olmak için 2 sayısını da deneyelim.

x = 2 için A = 6+0+5=11

x sayısının 2’ye eşit olduğu noktadan A sayısının en küçük değerini bulmuş olduk.

Cevabımız 11’dir.

5. x ∈ R olmak üzere ||x – 4| – 6| = 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Cevap: {-4,0,8,12}

6. x, y ∈ R olmak üzere |x – 3| < 5 ve 3x – y = 2 ise y nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri olduğunu bulunuz.

7. Sayı doğrusu üzerinde 7 ye olan uzaklığı 5 birimden fazla olmayan kaç tane tam sayı değerinin olduğunu bulunuz.

Bir sayı doğrusu üzerine tam sayıları yazdığımızı düşünelim. 7 noktasına olan uzaklığı 5 birimden fazla olmayan tam sayıları yani en fazla 5 birim olan sayıları tek tek işaretleyelim.

7-5 = 2

Sayı doğrusunda 7’ye 5 birim uzaklığındaki en küçük sayı 2’dir.

7+5 = 12

Sayı doğrusunda 7’ye 5 birim uzaklığındaki en büyük sayı 12’dir.

Soruda bizden istenen sayılar 2 ile 12 arasında kalan sayılardır. 2 ve 12 de bu sayılara dahildir.

2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12

Toplam 10 tane sayı vardır.

8. 2/|a – 2| > 1/3 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı a tam sayısının olduğunu bulunuz (a nın 2 olamayacağına dikkat ediniz.).

Öncelikle her iki sayının da pay kısmını eşitleriz. Böylece paydalar arasında kıyaslama yapabiliriz.

Paydaya 2 değerini de yazamayacağımız için özellikle dikkat etmeliyiz. İşlemleri ekte bulabilirsin.

2 / (1a – 21) > 1 / 3

2 / (1a – 21) > 2 / 6

6 > 1a – 21

6 > a – 2 > -21

a = {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3}

1. A = {(0,4), (1/2,3), (-1,5), (5,2/3), (3,2)} kümesinin elemanlarından kaç tanesinin 2x + 3y = 12 denklemini sağladığını bulunuz.

Parantez içinde verilen değerlerden ilki x,ikincisi y değeridir.Şimdi tek tek değerleri verip denklemde yerine koyup deneyelim ;

(0,4) için x=0,y=4 2.0+3.4=12 (sağladı)

(1/2,3) için x=1/2,y=3 2.1/2+3.3=10 (sağlamadı)

(-1,5) için x=-1,y=5 2.-1+3.5=13 (sağlamadı)

(5,2/3) için x=5,y=2/3 2.5+3.2/3=12 (sağladı)

(3,2) için x=3,y=2 2.3+3.2=12 (sağladı)

3 ifade denklemi sağlar.

2. Aşağıda verilen denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.

1. a) -5x + 3y = 22

2x – 3y = -16

1. b) 7a – 3b = 10

2a + 5b = -3

1. c) x/2 + y/3 = -1

2x/3 – y/2 = 10

ç) 1/(x+1) – 2y = -11

x/(x+1) + 4y = 22

1. a) y değerini yok edelim. Böylece x değerinin bulabiliriz.

-5x + 3y = 22

2x – 3y = -16

Bu iki denklemi alt alta toplarsak y değeri yok olacaktır.

-3x = 22-16 = 6

x = -2 olur.

x yerine -2 sayısını yazdığımızda y değerini buluruz.

10 + 3y = 22

3y = 12

y = 4 olur.

1. b) İki denklemi genişletmemiz gerekecek bu soruda. İlk denklemi 5 ile ikinci denklemi de 3 ile genişletirsek bilinmeyen bir değeri yok etmiş oluruz.

35a – 15b = 50

6a + 15b = -9

İki denklemi toplarız.

41a = 41

a = 1 buluruz.

İlk denklemde a yerine 1 yazıp b değerini bulalım.

7 – 3b = 10

– 3b = 3

b = -1 olur.

1. c) Her iki denklemi de tek bir paydada yazarak başlayalım işlemimizi yapmaya.

(3x + 2y)/6 = -1 yani;

3x + 2y = -6

(4x – 3y)/6 = 10 yani;

4x – 3y = 60

Yeni denklemlerimizi alt alta yazalım ve uygun sayılarla genişletelim. Yeni sayılarımızı toplayıp bilinmeyen değerlerimizi bulalım.

3x + 2y = -6

4x – 3y = 60

İlk denklem 3 ile ikinci denklem 2 ile genişletilir.

9x + 6y = -18

8x – 6y = 120

17x = 102

x = 6

Oluşturduğumuz denklemlerin birinde x yerine 6 yazalım ve y değerini bulalım.

18 + 2y = -6

2y = -24

y = -12

ç) Bu soruyu çözmek için biraz önceki yöntemlerden yararlanırsak işlemlerimiz çok uzar ve yorucu bir hal alır. Çok daha basit bir şekilde çözmek için sonuçları birbirine eşitleriz. İlk denklemimizin sonucu -11 ve ikinci denklemin sonucu 22’dir. İlk denklemi -2 ile çarparsak ikinci denklem ile eşit olur. Sonra da her iki denklemi birbiri ile eşitleriz.

-2 / (x + 1) +4y = x / (x+1) + 4y

Bu iki denklemde 4y değerleri birbirini götürür. x de karşı denklemde bulunan -2 sayısı ile eşittir. Bize soruda verilen denklemlerde x yerine -2 yazalım ve y değerini bulalım.

1 / (-2 + 1) – 2y = -11

-1 -2y = -11

-2y = -10

y = 5

3. 3x + 4y = 78 denkleminin çözüm kümesinin elemanlarından biri (a-1 , a+1) ise a değerini bulunuz.

Denklemin çözüm kümesi elemanları bize soruda verilmiş. x yerine a-1 ve y yerine a+1 yazarak işlemimizi yapalım.

3 (a – 1) + 4 (a + 1) = 78

3a – 3 + 4a + 4 = 78

7a +1 = 78

7a = 77

a = 11

4.- 2x + 5y = -3, (m – 2).x + 2y = n – 2 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı ise m.n değerini bulunuz.

5. y < x – 5, y ≥ -x + 6 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinin elemanlarını analitik düzlemde gösteriniz.
6. Toplamları en çok 6, farkları en az -2 olan gerçek sayı ikililerini analitik düzlemde gösteriniz.

İki sayımızdan biri ” x ” diğeri ise ” y ”olsun.Verilenleri denklem kurarak çözelim.Toplamları en çok 6 demiş x+y = 6 deriz.Farkları en az x-y = -2 deriz.Taraf tarafa toplama yaparsak :

x+y= 6

x-y= -2

———–

2x = 4

x= 2 olur.Bulduğumuz değerini yerine yazalım :

2+y = 6

y= 4 olur.

7. -5x + y > 10, x ≤ -2 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz.

Soruda bize iki tane eşitsizlik sistemi verilmiş. İkinci eşitsizlik sayesinde x’in alabileceği değerleri görebiliriz.

İlk eşitsizlikte x yerine alabileceği en büyük değeri yazarak başlayalım.

x = -2 için

10+y>10

y>0

Bir sonraki en büyük tam sayıyı yazalım. Böylece eşitsizliği hangi y değeri sağlar bunu öğrenmiş olacağız.

x = -3

15+y>10

y>-5

Bu iki x değeri sayesinde anlarız ki x’in en büyük olduğu noktada y, 0’dan büyük bir sayıdır. x sayısı küçüldükçe y sayısı da küçülecektir. x sayısının sonsuza kadar küçüldüğünü de eşitsizlikte bize bir uç değer vermediğinden anlayabiliriz. Bu demek oluyor ki x sayısı sonsuza kadar küçülüyorsa, bu sayıya karşılık gelen y sayısı da sonsuza kadar küçülür.

Kısaca toparlayalım. Eşitsizlikte bize verilen x sayısı sonsuzdan gelip -2’de maksimum değeri alır. x sayısına karşılık gelen y değeri de sonsuzdan gelir 0’dan büyük bir değer alır.

8. |x + y| < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz.

(a ∈ R+ , | x | < a ise -a < x < a olduğunu hatırlayınız. )

Doğruların denklemi yazdığında x+y nin her zaman -3 ten büyük 3 den küçük olduğu görülecektir.

x/3+y/3=1

-x/3+-y/3=1

ALIŞTIRMALAR

1. Aşağıdaki soruları cevaplandırınız.

1. a) 2x-1 = a ise 4x+1 in a cinsinden eşitini bulunuz.
2. b) (-2³)⁴.(-2)⁻³/(-2⁻²)⁻³.(-2⁻¹) işleminin sonucunu bulunuz.
3. c) a=2⁽₄²⁾ ve b=(2⁴)³ ise a/b ifadesinin eşitini bulunuz.

ç) x ve y , 0 dan farklı gerçek sayılardır.

(x³)⁴.(y⁶)³/(x².y⁴)⁵ işleminin sonucunu en sade hâlde yazınız

2. a ve b birer tam sayı olmak üzere 7⁴ᵃ⁻²ᵇ⁻⁴ = 6ᵃ-⁵ᵇ⁺⁸ ise a + b toplamını bulunuz
3. a = 4ˣ + 3 ve b = ( 1/2 )⁻²ˣ – 3 larak veriliyor. a nın b cinsinden eşitini bulunuz
4. aˣ ≠ 1 olmak üzere 11/aˣ-1+11/a⁻ˣ-1 işleminin sonucunu bulunuz
5. 2 . 4ᵃ⁺¹ / 8ᵃ⁺¹ = 1/4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz..
6. (x-4)²ˣ⁻⁸=1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
7. x, y, z ∈ R olmak üzere

x4 ∙ y3 ∙ z5 < 0

y5 ∙ z4 > 0

x3 ∙ z < 0

yukarıda verilenlere göre aşağıdaki eşitsizliklerden doğru olanın yanına (D), yanlış olanın yanına (Y) yazınız.

1. y < 0 dır. (…….)
2. x < 0 dır. (…….)

lll. z > 0 dır. (…….)

lV. x ∙ y > 0 dır. (…….)

1. x y 0> dır. (…….)
2. 81¹⁰ + 27¹⁴ = a ∙ 9²⁰ denklemini sağlayan a sayısını bulunuz.
3. 3 ∙ 2a = x veriliyor. 9 ∙ 16a ifadesinin x cinsinden eşitini bulunuz.
4. (2 – x / 5 )³ + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Not : Soru çözümleri kısa süre içinde eklenecektir.

1. √2 ,7 + √0,3 / √1,2  işleminin sonucunu bulunuz.
   Çözüm–>> 

√27/10 + √3/10 / √12/10 (paydalar aynı olduğu için kök 10 ları yazmayabiliriz)

√27 + √3 / √12

3√3 + √3 / 2√3

4√3 / 2√3 = 2 

2. a = √5 ise ( a – 8 ) . ( a + 2 ) / 4 işleminin sonucunu bulunuz.
   Çözüm–>>

(√5+3-8) . (√5+3+2) / 4 

√5-5 . √5+5 / 4

(a-b).(a+b) = a²-b²

5-25 / 4 = -20 / 4 = -5 
3. √2 + 1 / √2 / √2 – 1 / √2 işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm–>>

Paydaki kökden kurtalalım.

1/√2 (√2) ile kökten kurtarırsak

√2 / 2 olur 1/√2 yazan yerlere √2 / 2 yazalım

√2 /1 + √2/2 / √2 / 1 – √2 /2 

payda eşitlersek

2√2 +√2 / 2√2 – √2

3√2 / √2 kökler sadeleşirse

3 
4. √6 – | x – 2 | sayısının bir gerçek sayı olabilmesi için x tam sayısının kaç farklı değer alabileceğini bulunuz.
Cevap -4≤x≤8

5. ∛5 .√5 / ⁴√5 = 5ˣ ise x değerini bulunuz.
   Cevap–>> x=7/12
6. ∛16ˣ⁺¹ /∛8ˣ⁻¹ = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
   Çözüm–>>

∛2^4(x+1) / ∛2^3(x-1) = 2²

∛2^4x+4 / ∛2^3x-3 = 2²

4x+4 – 3x+3 =x + 7

∛2^x+7 = 2 ^(x+7)/3 =2²

x + 7 / 3 = 2
x + 7 = 6

x = -1

Ç= {-1}

7. a < b < 0 ve a, b ∈ R olmak üzere√( a – b )² – ∛ ( b – a )³ – ⁴√a⁴ işleminin sonucunu bulunuz.

Cevap: a

8. √8 + √60 – √8 – √60 işleminin sonucunu bulunuz.
   Cevap: 2√15

9. ⁴√³√x = ³√9 . ⁴√3 olduğuna göre x in değerini bulunuz.
   Cevap: x=3

10. a = -√3
    b = -∛6     sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
    c = -⁶√20
    Cevap: b < a < c

1. x/y = 3/8 ve y – x = 20 ise x değerini bulunuz.

Çözüm–>>

x/y = 3/8 verilmiş. İçler dışlar çarpımından birbirlerine eşitleyelim.

3x = 8y olur. Yani, 3x-8y = 0 

3x-8y = 0

y-x = 20 denklemlerini alt alta toplayalım. İkinci denklemin her elemanını 3 ile çarparsak x’li ifadeler birbirini götürecektir.

3x-8y = 0

3y-3x = 60

-8y+3y = 60

-5y = 60

y = 60/-5

y = -12

y-x denkleminde y’yi yerine yazarsak x’e ulaşırız.

-12-x = 20

-12-20 = x

-32 = x

2. a/b = 3/5 ve b/c = 2 ise a/c değerini bulunuz.

Çözüm–>>

Soruda bize b/c = 2 olarak verilmiş. Bu ifadeden b=2c olarak bulunur. Şimdi bize verilen ilk denklemde b gördüğümüz yere 2c yazarsak a/c değerini bulabiliriz.
a/2c = 3/5 sonucuna ulaştık.

Şimdi a/c’yi elde etmek için eşitliğin her iki tarafını da 2 ile çarparız.
a/c = 6/5

3. (2m + n)/(m-n) = 4 ise m²/n² değerini bulunuz.

Çözüm–>>

Soruda bize verilen ilk denklemi inceleyerek başlayalım sorumuzu çözmeye.
(2m+n)/(m-n)=4 olarak verilmiş. Biz bu denklemden;
2m+n = 4(m-n) elde edebiliriz.
2m+n = 4m-4n
2m = 5n olarak buluruz.Elimizdeki iki bilinmeyenden kurtulmak için m ve n yerine tek bir değer yazalım.
m = 5k ve n = 2k yazarsak denklemimiz doğru olacaktır.
Şimdi de son olarak m²/n² yerine değerlerimizi yazalım.
25k²/4k² bilinmeyen değerler sadeleşir ve geriye yalnızca 25/4 kalır.

4. Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısı 0,24 ile erkek öğrencilerin sayısı 0,36 ile doğru orantılıdır. Sınıf mevcudu 30 dan fazla olduğuna göre sınıf mevcudunun en az kaç olabileceğini bulunuz.

Çözüm–>>

Sınıftaki kız sayısı 0,24 ile orantılıysa bunu bir k değişkeni ile ifade etmeliyiz. Orantılı olma ifadesi doğru orantılı olmayı ifade ettiğine göre,
Kız öğrenci sayısı= 0,24k
Bu durumda erkek öğrenci sayısı= 0,36k
Öyleyse toplam sınıf mevcudu= 0,24k+0,36k= 0,60k bulunur.
Sınıf mevcudu 30’dan fazla ise eşitsizliğimizi yazalım.
0,60k> 30
k>50 bulunur. Ancak sınıf mevcudu bir tamsayı olabilir ve negatif olamaz. Bu durumda 0,60k= 60k/100 ifadesi ancak 100 ile sadeleşebilecek bir k sayısı olmalıdır. Bu durumda 50’den büyük olan ve 100 ile sadeleşebilecek tek sayı 55 olacaktır. Öyleyse:
(60*55)/100= 33 kişi olabilirler.

5. Akif ve Mert bir arsayı 2/5 oranında hisse ile almak istemektedir. Küçük hisseyi Akif 32.000 TL karşılığında aldığına göre arsanın tamamının kaç TL olduğunu bulunuz.

Çözüm–>>

Akif’in hissesine 2k dersek Mert’in hissesi 5k olacaktır. Küçük olan hisse yani Akif’in hissesi 32000 TL olduğuna göre:
2k = 32000 ise k = 16000 TL’dir.
k = 16000 ise 5k = 5 x 16000 = 80000 TL (Akif’in hissesi)
Arsanın tamamı=32000 + 80000 = 112000 TL

6. a sayısı b+1 ile doğru, c-2 ile ters orantılıdır. a = 5 ve b = 2 iken c = 8 ise b = 3 ve c = 4 iken a değerini bulunuz.

Cevap: x=20

7. Özdeş olan 25 adet güneş panelinin 12 günde ürettiği elektriği , aynı şartlarda bu panellerle özdeş ve 3 kat daha fazla sayıdaki güneş paneli ile kaç günde üretebileceğini bulunuz.

Çözüm–>>

Bu soru ters orantı kurularak çözülür.Çünkü güneş paneli sayısıyla gün birbirine ters orantılıdır.Güneş paneli sayısı arttıkça daha çok elektrik üretileceği için,aynı miktarda elektrik daha az günde üretilir.
25 adet   12 gün
75 adet     x gün
25.12 / 75 =x   = 4 günde üretilir.
Aslında buna 75 bile demeden direkt olarak güneş paneli sayısı 3 kat artacaksa gün sayısı da 3 e bölünecek diyebilirdik.

8. Cennet Hanım anaokuluna giden kızı ile hafta sonu kek yapmak istemektedir. Bunun için gerekli olan un, şeker ve tereyağı miktarları sırasıyla 8, 3 ve 2 sayıları ile doğru orantılıdır. Cennet Hanım ve kızının yaptığı 4 kişilik bir kek 1300 gr olduğuna göre yapacakları 8 kişilik bir kekte kaç gram tereyağı kullanacaklarını bulunuz.

Çözüm–>>

Soruda verilenlere göre kekin içindeki malzemelerin oranı şu şekildeymiş;
Un         : 8 k
Şeker    : 3 k
Tereyağı: 2 k
toplamda:  8k + 3k + 2k = 13 k malzeme bulunuyor.
4 kişilik kek 1300 gr   ise   ⇒  8 kişilik kek:  1300 gr  x  2  = 2600 gr olur.
toplamda malzemeler 13 k olduğuna göre
13 k = 2600 gr
k =200 gr olur.
Tereyağ miktarı 2k ise 200 x 2 = 400 gram tereyağı bulunur.

9. Bir bilim insanı demir, alüminyum ve kurşun metallerini sırasıyla 3, 4 ve 12 sayıları ile ters orantılı olacak şekilde karıştırıp 240 gramlık bir alaşım elde ediyor. Bu alaşımdaki alüminyum miktarını bulunuz.

Cevap: 90 gr

10. Bir uçak firması bilet fiyatlarını 30 boş koltuk kalana kadar sabit bir fiyatla boş koltuk sayısı 30 un altına düştüğünde koltuk sayısı ile ters orantılı olacak şekilde belirlemektedir. 20 boş koltuğu olan bir uçakta bilet fiyatı 75 TL ise 15 boş koltuk kaldığında bilet fiyatının kaç TL olacağını bulunuz.

Çözüm–>>

Koltuk sayısı 30’un altına düştüğünde fiyat koltuk sayısı ile ters orantılı olarak belirlendiğine göre:
x/20=75==>x/15=? (soru bu hale geldi)
x=20×75=1500==>x/15=1500/15=100
Bilet fiyatı 100TL olmalı.

ALIŞTIRMALAR

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Meb YayınlarıSayfa 162 Soruları ve Cevapları
10. Toplamları 24 olan iki sayıdan birinin 3 katı diğerinin 5 katına eşittir. Buna göre küçük sayıyı bulunuz.

Çözüm –>

K = 3X 

B = 5X

8X = 24 => X = 3

K = 3X = 3 x 3 = 9

2. Selim’in parası Selin’in parasının 4 katıdır. Selim Selin’e 54 TL verirse paraları eşit olur. Buna göre Selin’in ilk durumdaki parasının kaç TL olduğunu bulunuz.

Çözüm –>

Selim / 4X

Selin / X

4X – 54 = X + 54

3X = 108

X = 36

3. Bir çay bahçesinde 3 veya 4 kişilik toplam 20 masa vardır. Çay bahçesinin kapasitesi 74 kişi olduğuna göre 4 kişilik masa sayısını bulunuz.

Çözüm –>

4 Kişilik / X

3 Kişilik / 20 – X

4X + 3 (20 – X) = 74

4X + 60 – 3X = 74 

X = 14

4. Bir manav elindeki limonların birinci gün 1/4’ünü, ikinci gün ise kalan limonların 1/5’ini satmıştır. Geriye 48 kg limonu kaldığına göre toplam kaç kg limon sattığını bulunuz.

Çözüm –>

Limom sayısı 20X oldun

1. gün 20X . 1 /4 = 5X satıldı

Kalan 20X – 5X = 15X

2. gün 15X . 1/5 = 3X satıldı

Kalan 15X – 3X = 12X

12X = 48 => X = 4

Satılan 5X + 3X = 8X = 8 x 4 = 32

5. Şenol Bey eve internet bağlatmak için 4 GB lık veri indirme ücreti 6 TL olan bir firma ile anlaşıyor. Şenol Bey, bir ayda 38 GB lık indirme yaparsa Şenol Bey’in ay sonundaki fatura tutarının kaç TL olacağını bulunuz.

Çözüm –>

4 GB  6 TL

38 GB X TL işler dışlar çarpımı ile

X = 38 x 6 / 4 = 57 TL

6. Pazarda öğleden önce 3 kg patatesi 5 TL ye satan bir pazarcı, öğleden sonra 4 kg patatesi 5 TL ye satmaya başlıyor. Buna göre pazarcının ilk satış fiyatına göre yüzde kaç indirim yaptığını bulunuz.

Çözüm –>

Öğleden sonra 1 kg 5/4 TL

İndirim Miktarı 5 / 3 – 5 / 4 payda eşitlersek 12’de 

20 – 15 / 12 = 5 / 12 olur

5 / 3 te 5 / 12 indirim

100   X

5 / 3X = 100 X 5 / 12

X = 100 / 4 = 25 => % 25 indiirm

7. Bir ürün alış fiyatı üzerinden %20 kârla satılırken satış fiyatı üzerinden %20 zamla 360 TL ye satılıyor. Buna göre ürünün alış fiyatını bulunuz.

Çözüm –>

Alış fiyatı 100X

Satış fiyatı 120X

Karlı satış fiyatı 120X . 120 / 100 => 144 X = 360 

X = 360 / 144 = 5 / 2

Alış fiyatı = 100X = 100 x 5 / 2

X = 250 TL

8. Bir tüccar X tanesini Y liraya aldığı bir ürünün tanesini Z liradan satmaktadır. Tüccar bu satıştan ne kâr ne de zarar ettiğine göre X, Y ve Z arasındaki bağıntıyı bulunuz.

Çözüm –>

Y / X = Z

Y = X . Z

9. Nazan ile Numan’ın yaşları toplamı 28 dir.Eğer Nazan 4 yıl önce, Numan ise 5 yıl sonra doğmuş olsaydı Numan’ın yaşı Nazan’ın yaşından 3 fazla olacaktı. Buna göre Nazan’ın şimdiki yaşını bulunuz.

Çözüm –>

Nazan – Şimdi X olsun, 4 yıl sonra X + 4 olur

Numan – Şimdi 28 – X, 5 yıl sonra 23 – X olur

X + 4 + 3 = 23 – X

X + 7 = 23 – X

2X = 16

X = 8 olur

10. Bayan çantası satan bir mağaza alış fiyatı üzerine %30 kâr payı ekleyerek etiket fiyatını belirlemektedir. Sezon sonu ise etiket fiyatı üzerinden %30 indirim yaparak satış yapmaktadır. Sezon sonunda maliyetinden 18 TL daha düşük fiyata satılan bir çantanın alış fiyatının kaç TL olduğunu bulunuz.

Çözüm –>

Alış 100X

%30 karla 130X

İndirimli fiyatı 130X . 70 / 100 = 91X

100X – 91X = 18

9X = 18

X = 2

Alış fiyatı 100 x 2 = 200

11. %40 ı şeker olan 120 litre şekerli suyun yarısı ile %20 si şeker olan 100 litre şekerli suyun 5 2 i karıştırılıyor. Son durumda karışımın şeker oranının yüzde kaç olacağını bulunuz.

Çözüm –>

60 . 40 / 100 = 24 şeker

100 . 2 / 5 = 40 lt

40 . 20 / 100 = 8 şeker

Toplam karışım (24 + 8) / (60 + 40) = 32 / 100 = %32

12. Bir araç hızını saatte 30 km arttırırsa bir yolu 4 saatte, hızını saatte 20 km azaltırsa aynı yolu 6 saatte almaktadır. Buna göre bu aracın hızını değiştirmeden bu yolu kaç saatte alacağını bulunuz.

Çözüm –>

X = v . t

(v + 30) . 4 = (v – 20) . 6

4v + 120 = 6v – 120

2v = 240

v = 120

x = (v +30) . 4 = (120 + 30) .4 = 600 km

9. Yandaki grafikte A, B ve C kaplarındaki şeker ve su miktarları verilmiştir. Bu kaplardan eşit miktarda karışımlar alınıp yeni bir kaba dökülürse oluşan karışımın şeker oranının yüzde kaç olacağını bulunuz.

(2 + 4 +6) / (10 + 10 + 10) = 12 / 30 = 4 / 10 = 40 / 100 => % 40 

14. Şekildeki dairesel pistte V1=30 m/sn. ve V2=20 m/sn. hızlarıyla iki araç aynı anda birbirine doğru hareket ettikten 4 sn. sonra ilk kez karşılaşıyorlar. Bu araçlar hiç durmadan yollarına devam ettiklerinde 11. kez karşılaşmalarının harekete başlamalarından kaç saniye sonra gerçekleşeceğini bulunuz.

X = (V₁ + V₂) . t

(30 + 20) . 4 = 200 m

Pistin tamamı 200 . 360 / 120 = 600 m

600 = (30 + 20) . t

t = 12 sn

12 . 10 + 4 = 124 sn

15. Hızları saatte 80 km ve 60 km olan iki araç aynı anda aynı noktadan aynı yolu kullanarak aynı yere gittiklerinde, hızlı araç yavaş olan araçtan 2 saat önce varmaktadır. Buna göre yavaş olan aracın bu yolu kaç saatte gittiğini bulunuz.

80 . t = 60. (t + 2)

80t = 60t + 120

20t = 120

t = 6

Yavaş olan t + 2 = 6 + 2 = 8 saat

16. Bir karışımdaki şeker miktarının su miktarına oranı 17 8 dir. Buna göre karışımdaki şeker oranının yüzde kaç olduğunu bulunuz.

Karışım = Şeker + su = 8 + 17 = 25

25      8

100    X

X = % 32 olur

17. Bataryaları boş olan A ve B marka cep telefonlarının şarj olma süreleri sırasıyla 4 ve 5 saattir. A marka telefonun %20 si, B marka telefonun %10 u dolu iken aynı anda şarja takılan bu telefonlardan A marka telefonun bataryası %100 dolduğunda B marka telefonun bataryasının yüzde kaç dolmuş olacağını bulunuz.

4 saat     100

x              80

x = 32 /10 saat

5 saat            100

32/10 saat       x

x = % 72

18. Şekilde A ve B araçlarının yol-zaman grafiği verilmiştir. Bu araçların aynı anda aralarında 800 km olan iki noktadan birbirine doğru hareket ettikten kaç saat sonra karşılaşacaklarını bulunuz.

Cevap: 5 Saat

19. Bir ayda 200 kilovat elektrik tüketen bir haneye ay sonunda 100 lira fatura gelmiştir. Bu faturadaki vergi miktarı, tüketilen elektrik tutarının %25 i kadardır. Buna göre 1 kilovat elektriğin fiyatı kaç liradır?

Cevap: 0,4 TL

ÖLÇME DEĞERLENDİRME SORULARI

9. M ve N birer küme olmak üzere M = (-5, 4] ve N = [1,∞) olarak veriliyor. Buna göre M – N kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
10. A) (-5, 1] B) (-5, 1)C) (-5, ∞) D) (-5, 2) E) [-5, 2]

Cevap–>

M = (-5, 4] ve N = [1,∞) olduğuna göre M-N yi M de olup N de olmayan elemanlar olarak algılayabiliriz.

(-5,1) elemanları M kümesinde varken N kümesinde bulunmamaktadır. “()” işareti 1 ve -5’in dahil olmadığını gösterir. Yani kümenin içinde örneğin 0.999999 vardır fakat 1 yoktur. Sonuç olarak cevap:
B şıkkı (-5,1)’dir.

2. 6.(2x – 4) + 8 = 3.(4x – 4) – 4 denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) {0} B) { } C) RD) {4} E) {-4}

Cevap–>

Öncelikle denklemi çözelim:

6.(2x – 4) + 8 = 3.(4x – 4) – 4
12x-24+8=12x-12-4
12x-16=12x-16
0=0
Cevap bütün reel sayılardır. Yani cevap C şıkkı.

3. 2 + 20/(3 + 12/(x-1)) = 6 denklemini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
4. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7E) 8

Cevap–>

2 + 20/(3 + 12/(x-1)) = 6

Sırasıyla denklemi yavaş yavaş açalım:

2+20/[(3x-3+12)/(x-1)]=6
2+[20.(x-1)]/(3x-3+12)=6
2+(20x-20)/(3x+9)=6
(20x-20)/(3x+9)=6-2
20x-20=4.(3x+9)
20x-20=12x+36
8x=56
x=7

4. (x + 4)/(x – 2) + (x – 5)/(x + 3) = (x + 4)/(x – 2) + 3/4 denklemini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
5. A) 30 B) 28 C) 29D) 27 E) 26

Cevap–>

Her iki taraftada  (x + 4)/(x – 2) olduğu için birbini götürür.

Geiye ise

(x – 5)/(x + 3) = 3/4 içler dışlar çarpımı yaparsak

 4(X-5) = 3(X+3)

4X-20 = 3X+9

X = 29

5. (3 – m)/2 ≤ (2m + 4)/3 eşitsizliğini sağlayan m tam sayısının en küçük değeri kaçtır?
6. A) -2 B) -1 C) 0 D) 1E) 2

Cevap–>

İçler dışlar çarpımı yapalım:

3x(3-m)<2x(2m+4)
9-3m<4m+8
1<7m
m en küçük 1 değerini aldığı zaman eşitsizlik sağlanır. Cevap D şıkkı.

6. x – 1 ≤ 3 – x < 7 + 3x eşitsizliğini sağlayan x gerçek sayılarının aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
7. A) (-1,2]B) (1,2) C) (-2,-1] D) [-1,2) E) [-2,-1)

Cevap–>

Eşitsizlikleri ayrı ayrı ele alırsak;

x-1

2x < eşit 4

x < eşit 2

3-x < 7+3x

4x >-4

x>-1

Her iki eşitsizliği birleştirirsek;

-1< strong=””>

(-1,2]

7. “Sayı doğrusu üzerinde 7 sayısına uzaklığı enaz10 birim olan gerçek sayılar” ifadesi aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak belirtilmiştir?
8. A) |x – 7| > 10 B) |x – 10| ≥ 7 D) |x – 7| ≤ 10 C) |x – 7| < 10 E) |x – 7| ≥ 10

Cevap–>

Örnek verirsek:

Sayı doğrusunda 0 ile 5 noktalarının arası 5 birimdir. Aynı şekilde 0 ile -5 noktalarının arası da 5 birimdir. O halde |-5| = |5| diyebiliriz. Bu sebeple mutlak değerin içi negatif olsa da uzaklık değerleri negatif olamayacağı için dışarıya pozitif olarak çıkar.

Bu bilgileri soruya uygularsak 7 sayısına uzaklığını bulmak istediğimiz gerçek sayıları I x-7 I ifadesiyle gösteririz.

Şimdi soruda istenen diğer özelliği uygulayalım. Belirtilen uzaklığın en az 10 birim olması gerekiyor. Bu durumda uzaklık 10’a eşit yada daha büyük olabilir. Bunu büyük ve eşittir (≥) simgesi ile gösteririz.

Bu durumda doğru sonucumuz I x-7 I ≥ 10 olacaktır. E şıkkında yer almaktadır.

8. x ∈ R+ olmak üzere 1/32 ≤ 1 / (4x+4) ≤ 1/16 eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
9. A) (4, 7] B) [4, 7) C) [3, 7] D) [3, 7) E) (3, 7]

Cevap–>

1/32 <= 1 / 4X + 4 <= 1/16

Paylar eşit olduğundan paydası en büyük olan en küçük, en küçük olan en büyük sayı olacaktır, bu durumda eşitsizliği şu şekilde yazabiliriz.

16 <= 4x + x <= 32

16 -4 <= 4x <= 32 – 4

12 <= 4x <= 28 => 4’e bölelim

3 <= x <= 7

x= [3,7]

9. a, b, c birer negatif tam sayıdır. a/(b+c) < a/(a+c) olduğuna göre göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
10. A) a > c B) a < c C) a > b D) b > a E) b > c

Cevap–>

a/(b+c) < a/(a+c) olduğuna göre  ve bütün sayılar negatif olduğundan b+c>a+c yani:
b>a olmalıdır.
Cevap D şıkkı.

10. 2 < x < y < 4 eşitsizliği veriliyor.

Buna göre 3x – 2y ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) -5 B) -4 C) -3 D) -2 E) -1

Cevap–>

3x-2y ifadesinin en küçük değeri alması için y’nin en büyük x’in en küçük değeri alması gerekiyor. O halde:

2 < x < y < 4
y=3.8
x=2.2
3x-2y=6.6-7.6=-1
Cevap E şıkkıdır.

11. |x -1 / 30 | = 2017²⁰¹⁷ denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
    A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) -1

12. |1/(3-a)| = 2 denklemini sağlayan a değerleri toplamı kaçtır?
13. A) -2 B) 0 C) 3 D) 4 E) 6

Cevap–>

|1/(3-a)| = 2

a > 3 => 1 / a-3 = 2

2a – 6 = 1

2a = 7

a = 3,5

a < 3 => 1 / 3 – a = 2

6 – 2a = 1

2a = 5

a = 2,5

a={ 2,5 , 3,5}

2,5 + 3,5 = 6

Cevap E 

13.. 4x + |3x| – 21 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) {3} B) {21} C) {3,21}D) Ø E) R

Cözüm–>

3x sayısı mutlak değer içinde olduğu için -3x ve 3x olarak dışarı çıkabilir. O halde iki durum için de x fraklı değer alacaktır. İlk durumda 3x olarak dışarı çıksın:
4x+3x-21=0
7x=21
x=3

İkinci durumda -3x olarak dışarı çıksın:
4x-3x-21=0
x=21
Cevap C şıkkı {3,21} 

14. a, b, A ∈ R olmak üzere

A = |3a – 2b| olarak veriliyor. A nın en küçük değeri için (5a – 2b)/(b – a) işleminin sonucu kaçtır?

1. A) -4 B) -2 C) 0 D) 2 E) 4

Çözüm–>

Mutlak değer, bir sayıyı dışarıya pozitif çıkartmakta kullandığımız matematiksel bir terimdir.

Soruda A= |3a-2b| verilmiş. Bu durumda A sayısı 0’dan büyük veya 0’a eşit olabilir.

A’nın en küçük değeri bu durumda 0 olabilir. Öyleyse,
3a-2b=0
3a=2b
a=2, b=3 denebilir.

(5a-2b)/(b-a)= (5*2 – 2*3)/(3-2)= 4 bulunur.
Cevabımız E seçeneği olacaktır.

15. x, y, z ∈ R+ olmak üzere

1/x < 1/y < 1/z ise |x – y| + |y – z| + |x – z| toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 2x – 2z B) 2x – 2y C) 2y – 2x D) 2y – 2 E) 2z – 2x

Çözüm–>

1/X < 1/y < 1/z

paylar eşit olduğundan

z < y < x şeklinde yazılabilir

| x-y| + |y-z| + |x-z|

Cevap 2x olur

16. a ve b birer gerçek sayıdır. Buna göre
17. | a.b | = | a | . | b |
18. | a/b | = | a/b |

lll. |a^b| = | a |^5

lV. | a – b | = | b – a |

ifadelerinin hangileri daima doğrudur?

1. A) l, ll B) l, lll C) l, lV D) ll, lV E) l, ll, lV

Çözüm–>

17. m, n ∈ R olmak üzere

|x – 3| < m eşitsizliğinin çözüm kümesi (-5, n) olduğuna göre m+n toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 2 B) 5 C) 9 D) 16 E) 19

Çözüm–>

Ix-3I < m    (mutlak değerden çıkardığımızda içindeki sayı m den küçük,-m den büyük olacak)

-m3-m < x < m+3   olur.

Ç.K -5 ile n arasında olduğu verilmiş.Yani  -53-m=-5    m=8
m+3=n     8+3=11=n
m+n=8+11=19  Doğru cevap E şıkkı olmalıdır.

18. 1 ≤ |x – 4| < 3 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
19. A) 16 B) 15 C) 14 D) 13E) 12

Çözüm–>

Eşitsizlik ayrı ayrı ele alınır;

Ix-4I > eşit 1

x-4 > eşit 1 ise x > eşit 5

-x+4 >eşit 1 ise x< eşit 3

Ix-4I <3

x-4 <3 ise x<7

-x+4<3 ise x>1

4 adet eşitsizlik elde ettik, şimdi bu 4 eşitsizliği birleştirelim;

5

1< strong=””>

5

x = 5, 6 olur.

Toplam ise 13

19. x, y ∈ R olmak üzere

|x – 6| < 2 ve |y + 1| < 2x tir. Buna göre x + y toplamının en büyük tam sayı değeri kaçtır?

1. A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22

Çözüm–>

20. |(x – 4) / (x + 6)| + 6 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
21. A) (6, ∞) B) (-6, ∞) C) (-∞, 6) D) (-∞, -6)E) Ø

Çözüm–>

21. ax – by = 11

(a + 1).x + (b – 4).y = 8 denkleminin çözüm kümesi (3, -1) sıralı ikilisi olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?

1. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

22. |4x – y + 3| + |x + y + 12| = 0 denklemini sağlayan x ve y değerlerinin çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?
23. A) -9 B) -6 C) -3 D) 18E) 27

Çözüm–>

|4x – y + 3| + |x + y + 12| ifadesinin 0 olması için ayrı ayrı |4x – y + 3| ve |x + y + 12| ifadelerinin de 0 olması gerekir. Çünkü başka bir şekilde bu iki ifadenin toplamı 0 olamaz çünkü mutlak değer dışına hiçbir zaman negatif sayı çıkmaz. Başka bir ifade ile 5+(-5)= 0 gibi bir eşitlik elde edemeyiz. Tek elde edebileceğimiz eşitlik:

0+0=0 eşitliğidir. O halde:

4x-y+3=0
x+y+12=0

Taraf tarafa toplarsak:
5x=-15==>x=-3 y=-9 O halde:
x.y=-9.-3=27’dir.

23. ax + 9y – 1 = 0 ve 4x + ay – 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi boş küme ise a gerçek sayısının negatif değeri aşağıdakilerden hangisidir?
24. A) -36 B) -6 C) -3 D) -2 E) -1

24. A şehrinden C şehrine doğru hareket eden bir araç 120 km sonra B ile C şehrinin orta noktasına, C şehrinden hareket eden bir araç ise 180 km sonra A ile B şehirlerinin orta noktasına ulaştığına göre A ile C şehirlerinin arasındaki uzaklık kaç km dir?
25. A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500

35. a ∈ R olmak üzere

a^0,6 = 64 ise a^0,2 değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 8 B) 4 C) 2 D) 1 E) 1/4

36. a ve b birer tam sayı olmak üzere

35^a-2 ∙ 7^a+b = 5³ ise b değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 2 B) 0 C) -3 D) -5 E) -8

37. 3⁴ + 3³/9^a = 4/3 denklemini sağlayan a değeri aşağıdakilerden hangisidir?
38. A) 1 B) 2C) 0 D) -1 E) -2

38. 1/3^1-a = 2 olduğuna göre 9^a değeri aşağıdakilerden hangisidir?
39. A) 1/9 B) 1/4 C) 4 D) 9 E) 36

39. [x⁴ . (-x⁻³)⁴]² : x⁻⁷ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
40. A) x² B) x³C) x⁴ D) -x³ E) -x⁴

40. x, y, k ∈ R ve k ≠ 3/2 olmak üzere

x=5 . 3/^2k+3 ve y = 2. 5 k/ 2k+3 dir.

Buna göre y nin x cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 5/xB) 25/x C) 5/x² D) 1 E) 5

41. 3⁴.2⁵+2⁴.3⁵ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
42. A) 108 B) 120 C) 144D) 180 E) 216

42. 2^x = a

3^x = b olarak veriliyor

5^x = c

Buna göre (0,72)^x sayısının a, b, c cinsinden yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) a ∙ b² ∙ c²
2. B) a ∙ b² ∙ c^-2
3. C) a ∙ b ∙ c²
4. D) a² ∙ b² ∙ c
5. E) a² ∙ b ∙ c^-2

43. 4¹¹ + 4¹¹ + 4¹¹ + 4¹¹ / 2¹⁵ + 2¹⁵ =16^x-5

denklemini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

9. 4^x-6 – 2^x-1 > 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
10. A) 12B) 11 C) 10 D) 9 E) 8

45. (3/5)^4x-12 < (27/125)^-2x+6 eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
46. A) (-∞,3) B) (-∞,3] C) (3,∞)D) [3,∞) E) (4,∞)

46. A bir gerçek sayı olmak üzere

A = √2x-12 + ∛x+2 – 4√6-x olarak verilmiştir. A sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) -2 B) 0 C) 2 D) 4 E) 6

47. x = √6+√2 ve y = √6-√2 olmak üzere işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
48. A) √6/3 B) √6/2 C) √6 D) -√6/2 E) -√6/3

48. ∛3 . 4√3 = ∛⁴√x olduğuna göre x gerçek sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
49. A) 314 B) 312 C) 310 D) 37 E) 33

49. 2/√2+√3 + 2/√2-√3 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
50. A) -2√2 B) -√3 C) √6 D) 2√6E) √3-1

50. 6/3+√3 + 6/3-√3 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
51. A) 3 B) 6 C) √3 D) 3√3 E) √3 + 3

51. 1/1+1/√2 : 1/√2 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
52. A) √2 B) √2-1 C) √2+1 D) 2√2-1 E) 2√2-2

52. (√7 + √24 +√7 – √24)² işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
53. A) 6 B) 4√6 C) 12 D) 24E) 36

53. ∛3√24 sayısı √3 sayısının kaç katıdır?
54. A) √2 B) √3 C) ∛4D) ∛9E) ∛12

54. A = √7-3/√13-5 ve B = √13+5/√7+3 sayıları veriliyor. Buna göre B nin A cinsinden yazılışı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?
55. A) B = A B) B = -A C) B = 3A D) B = 3A E) B = 6A

55. ∛(9^x+2/27^x-1) = 81 eşitliğini sağlayan x gerçek sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
56. A) -5B) 0 C) 5 D) 10 E) 15

9. ⁶√25ˣ = ⁴√125^y olarak verildiğine göre y x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
10. A) 4/9 B) 9/4C) 1/4 D) 1/9 E) 1

57. ∛21 . 2^12 – 5 . 2^12/2^6 + 2^6 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 1 B) 2 C) 4 D) 8E) 16
2. √(√5-1) . √(√5+1) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
3. A) 1 B) √2 C) 4 D) 2√5 E) 2

59. 2√x + 5√y = 16

3√x – √y = 11

denklem sistemini sağlayan x ve y gerçek sayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 4 B) 5 C) 13D) 17 E) 19

60. a . x – (a + 2) . y = √500 denkleminin çözüm kümesi ÇK = {(√5, 2√5)} olduğuna göre a gerçek sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) -14B) -12 C) 0 D) 12 E) 14
2. a ve b sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere 3a = 4b ise a+b/2a-b oranı kaçtır?
3. A) 1/2 B) 3/5 C) 5/8 D) 7/5E) 9/4

62. x/2 = y/5 ve 3y – 4x = 21 ise x.y değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

63. a,b ve c sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere, 2a = 3b = 5c ise a+b/b+c oranı kaçtır?

1. A) 12/13 B) 16/23 C) 25/16D) 5/8 E) 8/15

64. x/y = z/t = k/m = 2/3,

2x – z + 3k = 18 ve 2y + 3m = 20 ise t sayısı kaçtır?

1. A) -7B) -3 C) 10 D) 17 E) 27

65. a c b d c 4 1 = = = ise a d oranının değeri aşağıdaki lerden hangisidir?

1. A) 1/4 B) 4 C) 1/16 D) 1/64 E) 64

66. Mehmet Bey bahçesinden topladığı 40 kg cevizi , yaşları 4, 7 ve 9 olan üç çocuğuna yaşları ile doğru orantılı olacak şekilde paylaştırıyor. Buna göre en büyük çocuk kaç ceviz almıştır?

1. A) 10 B) 14 C) 18D) 22 E) 24

67. Bir kurbandan 2/5 oranında kemikli et, 1/3 oranında ise kemiksiz et çıkmıştır. Bu kurbandan 20 kg kemiksiz et çıktığına göre kaç kg kemikli et çıkar?

1. A) 30 B) 24 C) 20 D) 18 E) 15

9. Hakan bilgisayarına bir dosya yükleme işlemi yaparken bilgisayar ekranında 750 MB olan bir dosyanın 630 MB nın yüklendiğini ve kalan yükleme için 4 dakika süre kaldığını görmüştür.Buna göre Hakan dosya yüklemeye kaç dakika önce başlamıştır?
10. A) 21B) 25 C) 30 D) 36 E) 40

Çözüm —> Öncelikle kalan yüklemeyi bulalım:

750-630=120 MB

120 MB dosya 4 dakikada yükleniyorsa

630 MB dosta kaç dakikada yüklenmiştir? (soru bu hali aldı)

1 MB dosya=4/120 dakikada yüklenir.

630 MB dosya=630x(4/120) dakika

630 / 30 = 21 dakika.

69. a, b, c, d ve k sıfırdan farklı gerçek sayılar ve k orantı sabiti olmak üzere

– a.b = k

– b/c = k

– c = k/d

ifadeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1. A) a ile b doğru orantılıdır.
2. B) a ile c doğru orantılıdır.
3. C) b ile c ters orantılıdır.
4. D) b ile d doğru orantılıdır.
5. E) a ile d doğru orantılıdır.

Çözüm—> 

bu tarz sorularda verilen eşitliklerden faydalanarak sayılar arasındaki oransal ilişki hakkında yorum yapabiliriz. Öncelikle kolaylık olması için c=k/d ifadesini c.d=k şeklinde yazalım. Şimdi şıklara bakalım:

A-(YANLIŞ) a.b=k eşitliğine göre, k sabit bir sayı olduğundan, a sayısı arttığında b sayısı azalmalıdır ki eşitliğin sağı aynı kalabilsin. Bu durumda a ve b sayıları arasında ters orantı vardır.

B-(YANLIŞ) b/c=k eşitliğine göre b sayısı arttığında c de artacak; azaldığında c de azalacaktır. Bu durumda b ve c sayıları doğru orantılıdır. a ve b arasında ters orantı olduğunu az önce belirttik. a sayısı artarken b sayısı azalacaksa b sayısı azaldığı için c sayısı da azalacaktır. Bu durumda a ve c sayıları arasında ters orantı vardır.

C-(YANLIŞ) b/c=k eşitliğine göre b sayısı arttığında c de artacak; b sayısı azaldığında c de azalacaktır. Bu durumda b ve c sayıları arasında doğru orantı vardır.

D-(YANLIŞ) c.d=k eşitliğine göre, k sabit bir sayı olduğundan c sayısı artarsa d sayısı azalacak; c sayısı azalırken d sayısı artacaktır. O halde c ve d sayıları ters orantılıdır. Yukarıda c ve b sayıları arasında doğru orantı olduğunu gördük. b sayısı artarsa c sayısı da artacak fakat c sayısı arttığından d sayısı azalacaktır. Bu durumda b ve d sayıları ters orantılıdır.

E-(DOĞRU) a sayısının arttığını farzederek d sayısına ulaşmaya çalışalım. Verilen eşitliğe göre a sayısı artarsa, ters orantıdan dolayı b sayısı azalacaktır. b sayısı azaldığı için, doğru orantıdan dolayı c sayısı da azalacaktır. c sayısı azalırken ters orantıdan dolayı d sayısı artacaktır. Sonuç olarak a sayısı da d sayısı da artmış oldu. Bu durumda a ve d sayıları arasında doğru orantı vardır.

Doğru cevap E seçeneğidir.

70. Bir üçgenin iç açıları 2 , 3 ve 6 ile ters orantılıdır. Buna göre bu üçgenin en küçük iç açısı kaç derecedir?
71. A) 15B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

Çözüm—> Üçgenin iç açıları 2 , 3 ve 6 ile ters orantılı ise iç açıları:

k/2, k/3, k/6 olmalı.

üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğuna göre:

k/2+k/3+k/6=180

6k/6=180==>k=180

en küçük iç açısı=k/6=180/6=30 derecedir.

Cevap B şıkkı.

71. 6, 4 ve 3 sayıları ile doğru orantılı olan sayılarla ters orantılı olan sayılar aşağıdakilerden hangisinde doğru sırayla verilmiştir?

1. A) 1,2,3 B) 2,3,6 C) 3,2,1 D) 1,3,6 E) 2,3,4

Çözüm—>

6k 4k 3k — Doğru Orantı

k/6 k/4 k/3 — Ters Orantı

Payda eşitleyelim

2k 3k 4k —> 2, 3, 4 

72. a, b, c ve k sıfırdan farklı gerçek sayılar ve k orantı sabiti olmak üzere

(a + b)/c = (b + c)/a = (a + c)/b = k eşitliğinde k orantı sabiti aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm—>

Soruda verilen verilen eşitlikleri ayrı ayrı yazarsak:

a + b = c . k

b + c = a . k

a + c = b . k olur.

Görüldüğü üzere eşitlikleri taraf tarafa toplamak bizi sonuca götürebelir:

a + b = c . k

b + c = a . k

a + c = b . k

+

————————————-

2.( a + b + c ) = k.( a + b + c )

Bulduğumuz denklemdeki ( a + b + c ) çarpanlarını sadeleştirirsek k = 2 buluruz.

73. a ve b pozitif sayıları sırasıyla 3 ile doğru, 4 ile ters orantılıdır. a.b = 48 olduğuna göre, a + b toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 14 B) 16 C) 19 D) 26 E) 49

Çözüm—>

A sayısı 3 ile doğru orantılı ise 3k

B sayısı 4 ile ters orantılı ise k/4 değerlerini alabilirler.

AxB=48 ==> 3kx(k/4)=3k^2/4=48==>k^2=64==>k=8

O halde:

A=3×8=24

B=8/4=2

A+B=24+2=26

Cevap D şıkkı

74. Bir kümesteki tavuk sayısının kaz sayısına oranı 7/2 ise kümesteki tavuk ve kaz sayıları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

1. A) 66 B) 75 C) 120 D) 133 E) 144

Çözüm—>

Bir kümesteki tavuk sayısının kaz sayısına oranı 7/2 ise tavuk sayısına 7k, kaz sayısına da 2k diyebiliriz. Yarım tavuk veya kaz olamayacağına göre k tam sayı olmalıdır. O zaman toplamı da 9k olmalıdır yani dokuzun katı olmalıdır. Seçeneklerde de yalnızca E seçeneği olan 144 dokuzun katıdır. Bu yüzden cevap E seçeneğidir.

75. Müslüm’ün 4 yıl önceki yaşının 6 yıl sonraki yaşına oranı 1/3 olduğuna göre Müslüm’ün 2 yıl sonraki yaşı aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 4 B) 6 C) 8 D) 11 E) 12

Çözüm—>

Müslüm’ün günümüzdeki yaşı x olsun.

Bundan 4 sene önce Müslüm “x-4” yaşındaydı.

Bundan 6 yıl sonra da x+6 yaşında olacak.

x-4 / x+6= 1/3 olacak. İçler dışlar carpimindan,

3x-12= x+6
2x= 18
x=9 günümüzdeki yaşı.

İki yıl sonraki yaşı ise 9+2=11 olacak.

76. Bir sayıyı 12 den çıkarttığımızda elde edilen sayının 2 katını 36 dan çıkarırsak sonuç 18 olmaktadır. Buna göre bu sayı kaçtır?

1. A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

Çözüm—>

Bir sayının diye başlayan sorularda sayıyı x olarak belirlemek işi kolaylaştırır.

Bu sayıyı 12den çıkarmak demek cebirsel olarak 12-x demektir. Bu sayının 2 katını 36’dan çıkaralım. O ifadenin sonucunu da 18e esitleyelim.

36- 2(12-x)=18

36-24+2x=18

12+2x=18

2x= 18-12

2x=6

x=3

Cevabımız B şıkkı olmalıdır.

77. Bir sepetteki elmaların 1/3 i yendikten sonra 8 kg daha elma yeniyor. Geriye ilk durumdaki elmaların yarısı kaldığına göre başlangıçta sepette kaç kilogram elma vardır?

1. A) 8 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60

Çözüm—>

Elmaların tamamına a dersek,

Yenen elmalar, 1/3a + 8 olur.

Soruda geriye elmaların yarısı kaldı dendiğine göre, elmaların yarısı(1/2a) yenmiştir. O halde;

1/3a + 8 = 1/2a olur. ⇒ 8 = 1/2a – 1/3a paydaları eşitlersek;

8= 3/6a – 2/6a ⇒ 8 = 1/6 a ise a= 48 olur.

Başlangıçta sepette 48 elma bulunur. Cevap d şıkkıdır.

78. Bir kuruyemişçideki fıstık ve fındıkların toplam ağırlığı 80 kg dır. Fıstığın kilogramı 12 TL, fındığın kilogramı 48 TL olup bu kuruyemişlerin toplam değeri 1860 TL olduğuna göre kuruyemişçide kaç kilogram fındık vardır?

1. A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

Çözüm—>

Fındığa “f”; fıstığa “t” diyelim:

f + t = 80 (1)

48f + 12t = 1860 (2)

1. denklemi -12 ile çarpalım:

-12f – 12t = -960 (3)

2. denklem ile 3. denklemi taraf tarafa toplayalım:

36f = 900

f = 25 kilogram.

Cevap C şıkkı.

9. Spor müsabakalarına hazırlanan Ferdi, ilk gün bir miktar yol koştuktan sonra her gün bir önceki günden 3 km fazla koşmaktadır. Bir haftada toplam 77 km koştuğuna göre ilk gün kaç kilometre yol koşmuştur?
10. A) 1 B) 2C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm–>

İlk gün koştuğu km ye x diyelim.
İkinci gün x+3
Üçüncü gün x+6
Dördüncü gün x+9
Beşinci gün x+12
Altıncı gün x+15
Yedinci gün x+18 km koşmuştur.

Bir haftada koştuğu km leri toplarsak:

x + (x+3) + (x+6) + (x+9) + (x+12) + (x+15) + (x+18) = 77
7x+63=77
7x=14
x=2
İlk gün 2 km koşmuştur.

80. Bir çubuk 8 eşit parçaya ayrılıyor. Eğer bu çubuk 10 eşit parçaya ayrılsaydı parçalardan her biri 3 cm daha kısa olacaktı. Buna göre çubuğun parçalara ayrılmadan önceki boyu kaç santimetredir?
81. A) 80 B) 90 C) 100D) 120E) 160

Çözüm—>

Bu soruyu en kısa yol ile çözmek için çubuğun bölünmeden önceki boyutuna A diyelim.

Çubuğu 8 parçaya böldüğümüzde, 10 parçaya böldüğümüz ana göre her bir parçanın boyu 3 cm kadar daha uzun olarak söylenmiş. Hemen bir denklem kuralım.

A/8 = A/10 + 3
A/8 – A/10 = 3
2A/80 = 3
2A= 80×3 = 240
A=120
Cevabımız bu denklemde bulduğumuz sonuca göre D seçeneği 120 olacaktır.

81. Aysun ve Beril’in paraları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

• Aysun, Beril’e 40 TL verirse paraları eşit olmaktadır.
• Beril, Aysun’a 20 TL verirse Aysun’un parası Beril’in parasının 5 katı olmaktadır.

Buna göre Aysun’un başlangıçtaki parası kaç TL dir?

1. A) 40 B) 50 C) 80 D) 100 E) 130

Çözüm—>

Aysun’un parasına “a”; Berilin parsına “b” diyelim:

a-40 = b+40=>Aysun, Beril’e 40 TL verirse paraları eşit olmaktadır.

(b-20)x5 = a+20=>Beril, Aysun’a 20 TL verirse Aysun’un parası Beril’in parasının 5 katı olmaktadır.

a-b = 80 (ilk denklemden)
5b-100 = a+20 (ikinci denklemden)
5b-a = 120

a-b = 80
5b-a = 120 taraf tarafa toplayalım.

4b = 200
b = 50
a-50 = 80==> a = 130

82. 3 litrelik ve 5 litrelik iki kovası bulunan Recep, 140 litrelik bir havuzu bu kovalarla dolduracaktır. Her kovayı tamamen doldurarak ve her kovayı en az bir kez kullanarak bu havuzu en az kaç kova suyla doldurabilir?
83. A) 30 B) 32 C) 38 D) 41 E) 46

Çözüm—>

Her kovayı en az bir kere kullanacağına göre 3 litrelik kovayı en az kaç kere kullanması gerektiğini bulmalıyız. 3 litrelik kovayı en az 5 kere kullanması gerekiyor ki kalan su miktarı 5 litrelik kova ile tamamen taşınabilsin. O halde:

3×5 = 15 litre 3 litrelik ile taşındı
140-15 = 125 litre kaldı.
125/5 = 25 kere 5 litrelik kova kullanılır.
25+5 = 30 kova  su ile

83. Bir sınıftaki öğrenciler bahçede 3 erli sıra oluyor. Bu öğrenciler 2 şerli sıra olsalardı sıra sayısı 5 artacaktı. Buna göre bu sınıfta kaç öğrenci vardır?
84. A) 18 B) 20 C) 24 D) 30 E) 36

Çözüm—>

Öğrenciler ikişerli ya da üçerli sıra olduklarında kaç tane sıra olduğunu bilmiyoruz.

Bu sebeple 3 erli sıra olduklarında x tane sıra olsun diyelim. O zaman bu sınıfta 3x tane öğrenci bulunmaktadır.

Öğrenciler 2 şerli sıra olduğunda sıra sayısı 5 arttığına göre bunu x+5 şeklinde gösterebiliriz. Bu durumda sınıfta 2(x+5) tane öğrenci bulunur.

Sınıftaki öğrenci sayısı değişmeyeceği için bu iki denklemi birbirine eşitlersek:

3x = 2(x+5) ise
3x = 2x+10
x = 10 tane sıra olur.
Öğrenciler 3 erli olarak x tane sıra oluşturursa bu sınıfın mevcudu 3×10 = 30 kişidir.

84. Gamze bir bilet kuyruğunda baştan (n + 1). kişi, sondan ise (2n – 3). kişidir. Kuyrukta toplam 66 kişi olduğuna göre Gamze’nin önünde kaç kişi vardır?
85. A) 18 B) 22 C) 23D) 24 E) 35

Çözüm—>

Gamze bir bilet kuyruğunda baştan (n + 1). kişi, sondan ise (2n – 3). kişi ise kuyrukta toplamda ( n + 1 ) + ( 2n – 3 ) – 1 kişi var demektir. ( -1’in sebebi gamzeyi bir baştan birde sondan başlarken iki defa saymamızdır.) Yani,

Kuyrukta toplam = 3n – 3 kişi vardır.
Ancak soru bize 66 kişi olduğunu söylüyor. Yani,
3n – 3 = 66
3n = 69
n = 23 olarak  bulunur.

Gamze baştan (n+1). kişi yani 23 +1 = 24. kişi ise Gamze’nin önünde 23 kişi vardır.

85. Bir telin bir ucundan bir miktar kesiliyor. Kesilen kısmın yarısı telin diğer ucuna ekleniyor. Telin orta noktası ilk duruma göre 15 cm kaydığına göre telin ucundan kaç santimetre kesilmiştir?
86. A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30

Çözüm—>

Tel = 2a —> Orta nokta = a 

Kesilen 4x —> Yarısı 2x

2a – 4x + 2x / 2 = 2a – x / 2 

a – (a – x) + 2x = 15

3x = 15

x = 5

4 . 5 = 20

86. Ömer ile Fatih’in bu günkü yaşları toplamı 46 dır. Ömer’in 4 yıl önceki yaşı Fatih’in 2 yıl sonraki yaşına eşit olacağına göre Ömer’in bugünkü yaşı kaçtır?
87. A) 20 B) 26C) 28 D) 30 E) 32

Çözüm—> 

Omer+Fatih= 46 verilmiş.

Omerin 4 yıl önceki yaşı= Omer-4

Fatihin 2 yıl sonraki yasi= Fatih+2
Bu ikisi birbirine eşit verilmiş.

Omer-4= Fatih+2
Omer-Fatih= 6
Omer+Fatih=46 idi. Alt alta toplayalım

2Omer= 52
Omer= 26 yaşında.

87. AB iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere AB yaşındaki Osman, A + B yıl önce 2A + 2B yaşındaydı. Buna göre Osman’ın şimdiki yaşı kaçtır?
88. A) 18 B) 21 C) 27D) 39 E) 48

Çözüm—>

AB = 10A + B

10A + B – (A+B) = 2A + 2B

10A + B – A – B = 2A + 2B

7A = 2B

A= 2

B= 7

Osman’ın şimdiki yaşı 27’dir.

88. Nazif’in bu günkü yaşı 39 dur. Nazif, Taner’in yaşındayken Nazif’in yaşı Taner’in o günkü yaşının 2 katıydı. Buna göre Taner’in bugünkü yaşı kaçtır?
89. A) 34 B) 30 C) 28 D) 26E) 21

Çözüm—>

Nazif’in bugünkü yaşı 39
Tanerin bugünkü yaşı: X

Taner ve Nazif’in yaş farkı: 39-X

Nazif Taneri’in yaşındayken ==>X
Taner’in o günkü yaşı X-(39-X)=2x-39

X=2(2x-39)
3X=78
X=26

89. Bir manav bir kasa limonun kilogramını 2 TL den satarsa 28 TL zarar, 3 TL den satarsa 20 TL kâr etmektedir. Buna göre bir kasa limon kaç kilogramdır?
90. A) 28 B) 32 C) 38D) 48E) 58

Çözüm—>

Düyelim ki toplam x kilogram limon olsun.
2 TL den satarsa 28 TL zarar edildiği için normalde zarar veya kar edilmeksizin 2x+28 lira kazanılması gerekir.
3 TL den satarsa 20 TL kâr edildiği için normalde zarar veya kar edilmeksizin 3x-20 lira kazanılması gerekir.
Bu iki kar veya zarasız kazancı birbirine eşitlersek:
2x+28 = 3x-20
x = 48 kilogramdir.

90. Selim’in çalışma odasındaki kitapların % 40 ı romandır. Romanların da %60 ı bilim kurgu romanıdır. Kitaplığında bilim kurgu türünde olmayan 152 kitabı olduğuna göre Selim’in kaç tane bilim kurgu romanı vardır?
91. A) 40 B) 48C) 60 D) 96 E) 100

Çözüm—>

Kitap = 100x

Roman = 40x

Bilim kurgu = 40x . 60 / 100 = 24x

100x – 24x = 152

76x = 152

x = 2

24 . 2 = 48

9. Bir ürünün satış fiyatından %30 indirim yapıldığında maliyet fiyatına göre %5 kâr elde edilmektedir. Buna göre bu ürünün satış fiyatı yüzde kaç kârla belirlenmiştir?
10. A) 60 B) 50 C) 40 D) 35 E) 30

Çözüm—>

Satış fiyatına x maliyet fiyatına y diyelim

x > y 

x – 30x / 100 = y + 5y / 100

70x / 100 = 105y / 100

2x = 3y

x = 3k

y = 2k

x – y = k

k = 50 /100 . y ise satış fiyatı üzerinden % 50 kar etmiştir.

92. k > 0 olmak üzere 2k/3 TL ye alınan bir mal, 5k/6 TL ye satılırsa yüzde kaç elde edilir?
93. A) 50 B) 45 C) 40 D) 30 E) 25

Çözüm—>

93. Yukarıdaki tabloda bir karışımdaki malzeme miktarları ve karışım yüzdeleri verilmiştir. Buna göre x – y değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1. A) 1360 B) 1260 C) 1040 D) 720 E) 640

Çözüm—>

94. % 40 ı tuz olan tuzlu su karışımından a gram, % 25 i tuz olan tuzlu su karışımından b gram alınıp karıştırılıyor. Karışımın tuz oranı %33 olduğuna göre a/b oranı kaçtır?

1. A) 1/3 B) 5/8 C) 8/7 D) 3/4 E) 8/13

Çözüm–>

[%40] + [ %25 ] = [ %33 ]

    a            b            a+b

40a + 25b = 33(a+b)

40a + 25b = 33a + 33b

7a = 8b

a / b = 8/7

95. Aralarında 640 km mesafe bulunan iki şehirden hızları 70 km/sa. ve 90 km/sa. olan iki araç birbirlerine doğru aynı anda harekete başlamıştır. Bu araçlar kaç saat sonra karşılaşır?
96. A) 3 B) 4C) 5 D) 6 E) 8

Çözüm—>

Çözüm—>

Eğer birbirlerine doğru ilerliyorlarsa, aralarındaki mesafe gitgide azalacaktır. Bu yüzden hızlar toplanıp süre bulunmalıdır. O zaman birbirlerine göre hızları

70+90=160 km/sa ‘dir.
Geçen süreyi de yolu, hıza bölüp buluruz.
640/160= 4 saat sonra karşılaşırlar.

96. Bir firmaya ait otobüs iki farklı şehir arasındaki yolu 60 km/sa. hızla gidip 90km/sa. hızla dönerek seferini tamamlamaktadır. Bu otobüsün yol boyuncaki ortalama hızı saatte kaç kilometre olur?
97. A) 84 B) 80 C) 75 D) 72E) 64

    Pratik yolum ise hiç x’e girip kafa karıştırmadan direk bir sayı vermek olacaktır. ancak sayıyı hızların en küçük ortak katı seçmek bizim avantajımıza olur. Bu da 180’e eşittir.

    Bu durumda giderken 3, gelirken 2 saat harcar. Toplam gittiği mesafe 360 km, toplam süresi de 5 saat olur. Ortalama hız da yine 72 çıkar.

97. Yukarıdaki şekilde AC yolu asfalt, CB yolu topraktır. Asfaltta 60 km/sa., toprakta 40 km/sa. hızla hareket eden aynı türde iki kamyon aynı anda A ve B noktalarından birbirlerine doğru hareket ediyorlar. Bu kamyonlar kaç saat sonra karşılaşır?
98. A) 3 B) 3,6 C) 4 D) 4,5 E) 5

98. Yukarıda verilen dikdörtgen şeklindeki pistin A noktasından hızları 3V ve 2V olan iki bisikletli aynı anda oklar yönünde hareket ederek E noktasında karşılaşıyorlar. EC 20= m olduğuna göre pistin çevresi kaç metredir?
99. A) 120 B) 160 C) 180 D) 200 E) 240

99. Yukarıdaki tabloda A+ ve A++ enerji sınıfındaki iki tür buzdolabının saatlik enerji tüketim miktarları gösterilmiştir. 1 kW elektirik tüketim bedelinin 30 kuruş olduğu bir fatura döneminde 30 gün boyunca sürekli çalışan bu buzdolaplarından A++ enerji sınıfındaki buzdolabının tüketim bedeli, A+ enerji sınıfındaki buzdolabının tüketim bedelinden kaç TL daha düşüktür?
100. A) 4,25 B) 5,08 C) 6,48 D) 8 E E) 8,2

100. 3 oyun salonu bulunan bir kreşte toplam 60 çocuk vardır. Eğer 1.salondan 2. salona 13 çocuk geçip 2. salondan 3. salona 8 çocuk geçerse salonlardaki çocukların sayısı eşit oluyor. Buna göre başlangıçta 1. salondaki çocuk sayısı 2 ve 3. salonlardaki toplam çocuk sayısından kaç fazladır?
101. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

Çözüm—>

Son durumdan geri dönerek ilk duruma ulaşabiliriz. Son durumda 3 salonda da yirmişer çocuk vardır. 2. salondan 3. salona 8 çocuk geçmeden önce; 2. salonda 28, 3. salonda ise 12 çocuk vardı. 

Bundan da önceye gidersek yani 1.salondan 2. salona 13 çocuk geçmeden önce; 1. salonda 33 çocuk, 2. salonda da 15 çocuk vardır.

1. salonda 33 çocuk varsa geri kalanında da 27 çocuk vardır çünkü bize toplamının 60 olduğu bilgisi verilmiş.

Son olarak yapmamız gereken bir çıkarma işlemidir ki o da 33-27 yani 6’dır. 

ALIŞTIRMALAR

1. A 13 Yandaki bölme işleminde x doğal sayısının alabileceği en 7 büyük değer için A doğal sayısının değerini bulunuz.

En büyük dediği için X = 12 olacak

A = 13 x 7 + 12 = 103

2. Yukarıdaki bölme işlemlerine göre A nın C türünden yazılışını bulunuz.

A = 4B + 7 

B = 5C + 1

Şimdi B yerine yukarıdaki değeri yazalım

A = 4 . (5C + 1) + 7

A = 20C + 4 + 7

A = 20C + 11

3. Altı basamaklı 981984 sayısının 981 ile bölümünden elde edilen bölüm ile kalanın toplamını bulunuz.

981984 : 981 = 1001

Bölüm = 1001

Kalan = 3

1001 + 3 = 1004

4. 17 ile 177 sayıları arasında 2 ile tam bölünen kaç farklı doğal sayı olduğunu bulunuz.

18 <= 2K <= 176

9 <= K <= 88

K = 88 – 9 + 1 = 80 tane

5. Aşağıdaki sayı ikililerinden hangisi aralarında asal değildir?
   A) (12,95) B) (11,145) C) (1,24) D) (3,112) E) (13,1001)

E’de 1001 sayısı 13’e bölünebilir.

9. Dört basamaklı 6m35 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 ise m nin alabileceği değerler toplamını bulunuz.

Çözüm—>

Sayımızın 3 ile bölümünden kalanı 1 miş. Bölüm k olsun. Bu durumda yazacağımız eşitlik:
3k+1= 6m35
3e bölünme kuralı rakamlar toplamının 3e tam bölünüp bölünmediği ile ilgilidir.
6+m+3+5=14+m bulunur. O halde eşitliği yeniden yazalım.

3k+1= 14+m
3k-13= m
m sayısının bu eşitlğe dayanarak 0 ve 9 dahil olmak üzere aynı aralıkta hangi değerleri alacağını hesaplayalım. k burada minimum 5 olmalıdır ki, m rakamı negatif çıkmasın. Bu durumda 5’ten başlayarak değerleri sağlamaya çalışalım.

3*5-13= 2=m olabilir.
3*6-13= 5=m olabilir.
4*6-13= 11 m olamaz. Çünkü m bir rakamdır.

Bu durumda m’nin alacağı değerler toplamı 2+5=7 bulunur.

7. Rakamları farklı beş basamaklı 378A2 doğal sayısı 4 ün bir tam katı olduğuna göre A nın alabileceği değerler toplamını bulunuz.

Çözüm —>

Verilen sayının 4’ün tam katı olabilmesi için son iki rakamının 4’e tam olarak bölünebilmesi gerekir.

Bu durumda A’nın alabileceği değerler:

1 / 3 / 5 / 7 / 9 olacaktır.

Sayının rakamları farklı olarak istendiği için 3 ve 7 rakamı yazılamaz.

Sonuç:

A rakamının alabileceği değerler toplamı;

 1 + 5 + 9 = 15 olarak bulunur.

8. Bir fabrikanın işletme bölümünde çalışan Ayla Hanım, satılan ürün sayısı ve toplam satış fiyatlarını bilgisayara girerken faturada, birim satış fiyatı 11 TL olan bir ürünün faturada toplam 1743X2 TL şeklinde olduğunu ve tutarın onlar basamağındaki sayısının silindiğini görmüştür. Buna göre bu fabrikanın bu üründen toplam kaç adet sattığını bulunuz.

Çözüm—>

-+-+-+

1743X2 

(7+3+2) – (1+4+x) = 0

12 – 5 – x = 0

x = 7 

174372 : 11 = 15852

9. Beş basamaklı 41A7B doğal sayısının 36 ile bölümünden kalan 15 olduğuna göre A sayısının kaç farklı değer alabileceğini bulunuz.

Bir sayının 36 ya kalansız bölünebilmesi için 4 ve 9 a kalansız bölünebiliyor olması gerekir.
15 in 4 e bölümünden kalan 3 tür.Yani ;
41A7B sayısında B= 1 ve5 olabilir
( 4 ile bölünebilme kuralı son iki rakamın 4 ün katı olmasıdır,3 kalanı olması için  68+3=71,72+3=75 dedik)

15 in 9 a bölümünden kalan 6 dır.Yani sayımızın rakamları toplamı 9 un katından 6 fazla olmalıdır(9 ile bölünebilme kuralı rakamları toplamının 9 un katı olmasıydı)
Şimdi B ye 1 ve 5 vererek sırasıyla A nın alabileceği değerleri bulacağız.

B=1 için
41A71  = 4+1+A+7+1=9k+6
7+A=9k
A= 2 olur

B=5 için
41A75  = 4+1+A+7+5=9k+6
9+A= 9k
A=0 ve 9 olabilir.

A sayısı 2,0 ve 9 olmak üzere 3 farklı değer alabilir.

10. X doğal sayısının 13 ile bölümünden kalan 11 ve Y doğal sayısının 13 ile bölümünden kalan 7 ise
    a) X + Y nin 13 ile bölümünden kalanı bulunuz.
    b) X ∙ Y nin 13 ile bölümünden kalanı bulunuz.
11. Dört basamaklı 6m2n sayısının 4 e bölümünden kalan 2 ve 9 a bölümünden kalan 1 ise m + n toplamının kaç farklı değer alabileceğini bulunuz.
12. M doğal sayısının 6 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre aşağıdaki ifadelerin 6 ile bölümünden kalanını bulunuz.
    a-) 3M + 3
    b-) 2M – 4
    c-) 4M + 2
    ç-) M + 6
13. 240 tan küçük 4 veya 6 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı olduğunu bulunuz. (0 ın kendisinden başka her sayıya bölünebildiğine dikkat ediniz.)

Cevap: 80 Tane

ALIŞTIRMALAR

1. 8’e , 12’ye ve 20’ye bölünebilen 600 den küçük, en büyük pozitif tam sayısını bulunuz.

8 e , 12 ye ve 20 ye bölünebilen sayıyı bulabilmek için bu sayıların en küçük ortak katını (ekok) bulmamız gerekir.

Ekoku dosyadaki şekilde bulabiliriz.
Gösterilen şekilde ekok 120 olarak bulunur.
600 den küçük denildiği için 120 nin 600 den küçük katlarına bakmalıyız.

120, 240, 360,480 ve 600 diye devam ederken 600 den küçük olarak en büyük 480 sayısı bulunur.

Cevap 480 dir.

8  12   20  | 2

4   6    10  | 2

2  3    5     | 2

1   3   5     | 3

1   5      | 5

1

120 x 4 = 480

2. 156 ve 442 sayılarını tam bölen en büyük doğal sayının rakamları toplamını bulunuz.

Ortak bölenler iki türlüdür.Ebob ve Ekok olmak üzere iki gruba ayrılır.Ebob demek ”b ” harfi ile en büyük böleni çağrıştırmaktadır.Ekok ise ” k ” harfi ile en küçük böleni çağrıştırmaktadır.

Ortak bölenlerini EBOB ile bulabiliriz.Ebob,her ikisininde ortak böleni olmasıdır.

442  156 / 2*
221   78 / 2
221   39 / 3
221   13/ 13*
17     1 /17
1

(156, 442) ebob = 2 . 13 = 26 Ebob ” 26 ” sayımızın rakamlarının toplamı : 2+6 =8 olur.

3. Bir çiçekçi güllerini üçerli, beşerli ve sekizerli saydığında her defasında 2 gül artmaktadır. Gül sayısı 200 den fazla olduğuna göre bu çiçekçinin en az kaç gülünün olduğunu bulunuz.

Soruyu çözebilmemiz için öncelikle 3, 5 ve 8 in en küçük ortak katını bulmamız gerekiyor. O halde:

3x5x8=120 (sayılar aralarında asal olduğu için direkt çarptık)

120 sayısı 3, 5 ve 8 ile tam bölünen en küçük sayıdır. Soruda 3, 5 ve 8 ile bölümünden kalanın 2 olması gerektiği verilmiş. O halde bu sayıya 2 ekleyelim:

120+2=122 ==> Güllerin 200’den fazla olması gerekiyor. 122 sayısına 120 eklersek hem güller 200 den fazla olur hem de 3, 5 ve 8 ile bölümünden 2 kalma şartı korunmuş olur. O halde:

122+120=242

Çiçekçinin en az 242 gülü vardır.

4. a, b, c sayıları birer doğal sayıdır. K = 3a + 1 = 4b + 2 = 5c + 3 olduğuna göre K nin en küçük değerini bulunuz.

Cevap: 58

5. Boyları 120 cm, 135 cm ve 180 cm olan üç demir çubuk eşit büyüklükte ve artmayacak şekilde parçalara ayrılacaktır. Bu iş için en az kaç kesim yapılması gerektiğini bulunuz (Çubuklar ayrı ayrı kesilecektir).

büyük parçalardan küçük parçalara bölünme işlemi olduğu için ebob sorusudur (120,135,180)ebob=
120 135 180 | 2
60    135  90 | 2
30    135  45 | 2
15     135  45| 3 +
5     45     15 | 3
5     15       5 | 3
5     5      5    | 5 +
1     1      1                  ise EBOB(120,135,180)=15 deriz
çubuklar ayrı ayrı kesilecek ise hepsine ayrı işlem yapılmalıdır.

1. ÇUBUK (120)
120/15 = 8 8 PARÇAYI KESMEK İÇİN 7 KESİM YAPILIR

2. ÇUBUK (135)
135/15 = 9 9 PARÇAYI KESMEK İÇİN 8 KESİM YAPILIR

3. ÇUBUK (180)
180/15 = 12 12 PARÇAYI KESMEK İÇİN 11 KESİM YAPILIR

7+8+11= 26 kesim yapılır.

6. Boyutları 4 cm, 5 cm ve 6 cm olan dikdörtgenler prizmasından en az kaç tanesi yan yana ve üst üste getirilirse bir küp oluşur? Bulunuz.

Öncelikle küp oluşturmak için bütün kenarların eşit olması gerekiyor. En az dikdörtgen prizma kullanarak dediği için:

4, 5 ve 6 nın en küçük ortak katını bulmamız gerekiyor:

4 5 ve 6 ‘nın en küçük ortak katı 60’tır. O halde:

60/4=15
60/5=12
60/6=10

10+12+15=37 tane kullanarak bir küp oluşturabiliriz.

7. A, B, C firmaları Yozgat İstanbul arasında sırasıyla 3 günde, 4 günde ve 5 günde bir sefer düzenliyor. Bu firmalar birlikte ilk seferlerine başladıktan kaç gün sonra 2. kez birlikte tekrar sefere çıkacaklarını bulunuz.

8. Senem, boyutları 24 cm, 30 cm ve 36 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki doğum günü pastasını eşit büyüklükte, küp biçiminde ve hiç artmamak şartıyla en az kaç arkadaşına paylaştırabileceğini bulunuz.

Bu soruyu çözebilmek için öncelikle 24 30 ve 36’nın ebob’unu bulmamız gerekiyor. O halde:

24 30 36 | 2 ==>hepsini böldü
12 15 18   | 2
6   15   9  | 2
3   15   9  | 3==>hepsini böldü
1    5    3  | 3
1    5    1  | 5
1    1    1

2×3=6 ebob.

24/6=4
30/6=5
36/6=6

4+6+5=15 arkadaşına paylaştırabilir.

ALIŞTIRMALAR

1. 14 Aralık 2017 Perşembe günü olduğuna göre 14 Aralık 2018 tarihinin hangi gün olacağını bulunuz (2017 ve 2018 yılı 365 gündür.).

Cevap: Cuma

2. Üniversite sınavına hazırlanan İbrahim 10 günde bir deneme sınavı çözmektedir. İlk denemesini pazar günü çözen İbrahim, 12. denemesini hangi
   gün çözeceğini bulunuz.

Cevap: Cuma

3. Yukarıdaki şekilde bulunan 6 lamba , A – B – C – D – E – F – E – D – C – B – A – B – … sırasıyla yanıp sönmektedir. Buna göre bu döngüde 987. sırada yanacak olan lambanın hangi harfle gösterildiğini bulunuz.
   Cevap: E

ÖLÇME DEĞERLENDİRME SORULARI

1. M ve N birer doğal sayıdır. M+2 6 N+5 5 N-3 2 4 3 Yukarıdaki bölme işleminde M sayısı kaçtır?
   A) 32 B) 41 C) 56 D) 78 E) 99
2. AB iki basamaklı doğal sayısının A+B toplamına bölümünde bölüm 4, kalan 3 olduğuna göre kaç farklı AB yazılabilir?
   A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
3. Aşağıdaki sayılardan hangisi 2, 3 ve 4 ile tam bölünür?
   A)145 B)242 C)366 D)456 E)632
4. 23 basamaklı 4242…4 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
   A) 0 B) 1 C) 3 D) 4 E) 7
5. Beş basamaklı 4x56y sayısının hem 3 hem de 5 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre x + y toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
   A) 2 B) 5 C) 8 D) 11 E) 15
6. x4yz ve x7yz dört basamaklı birer doğal sayıdır. x4yz sayısının 13 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre x7yz sayısının 13 ile bölümünden kalan kaçtır?
   A) 4 B) 5 C) 6 D) 9 E) 11
7. Bir A doğal sayısı 15 ile bölündüğünde bölüm x, kalan 9 dur. x doğal sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 dir. Buna göre A doğal sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?
   A) 0 B) 3 C) 7 D) 9 E) 10
8. 6 ya, 8 e ve 9 a bölündüğünde 4 kalanını veren en küçük iki basamaklı doğal sayı aşağıdakilerden hangisine tam olarak bölünür?
   A) 7 B) 13 C) 16 D) 19 E) 23
9. Sinem; bahçelerindeki ağaçları üçerli saydığında 1, beşerli saydığında 3, yedişerli saydığında 5 ağaç artmaktadır. Buna göre bahçede en az kaç ağaç vardır?
   A) 208 B) 203 C) 155 D) 107 E) 103
10. Yaşar’ın 2 bilyesi daha olsaydı bilyeleri dörderli, beşerli ve altışarlı gruplara ayrılabilecekti. Buna göre Yaşar’ın bilyelerinin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
    A) 120 B) 182 C) 238 D) 302 E) 404

11. Kenar uzunlukları 52 m ve 64 m olan bir arsa, kare şeklinde parsellere ayrılacaktır. Buna göre en az kaç tane eş parsel elde edilir?
    A) 116 B) 208 C) 232 D) 416 E) 520
12. Bir marangoz boyutları 48 cm, 72 cm, x cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tahta bloğu eş küplere ayırmıştır. Toplam 168 tane küp elde ettiğine göre x en az kaçtır?
    A) 80 B) 84 C) 88 D) 96 E) 168
13. Yukarıda verilen asal çarpanlara ayırma algoritmasında A + B + C toplamı kaçtır?
    A) 210 B) 294 C) 344 D) 354 E) 378
14. Mazlum ailesi yeni aldıkları evlerinin 3,6 m ve 4,4 m boyutlarındaki mutfaklarının tabanını eş büyüklükte ve kare şeklinde fayanslarla kaplamak istemektedirler. Bu iş için en az kaç fayans gerekir?
    A) 45 B) 54 C) 63 D) 99 E) 126
15. Lacivert ve sarı kareler kullanılarak şekildeki gibi süsleme yapılmıştır. Bu süslemede 55 lacivert kare olduğuna göre kaç tane sarı kare vardır?
    A) 110 B) 125 C) 150 D)165 D)175
16. Ada ve Ata iki farklı şehirde yaşamakta olan iki kardeştir. Ada 15 günde bir Ata ise 20 günde bir ailelerini ziyarete gelmektedirler. İki kardeş ilk
    kez cumartesi günü birlikte ailelerini ziyaret ettiklerine göre 5. kez ailelerini hangi gün birlikte ziyaret ederler?
    A) Perşembe B) Cuma C) Cumartesi D) Pazar E) Pazartesi
17. 123454321234543212345… şeklinde her beş rakamda bir tekrar eden sayının soldan 500. basamağındaki rakam kaçtır?
    A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
18. Aynı hastanede görev yapan Dr. Sevilay Hanım 8 günde bir, Hemşire Gülay Hanım ise 5 günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi birlikte ilk nöbetlerini salı günü tuttuklarına göre 11. nöbetlerini birlikte hangi gün tutarlar?
    A) Pazartesi B) Salı C) Çarşamba D) Perşembe E) Cuma

Alıştırmalar
Soru 1 Cevap:  x=15

Soru 2 Cevap:  m(DBK)=130

Soru 3 Cevap:  x=80 y=30

Soru 4 Cevap:  zx=40

Alıştırmalar
Soru 5 Cevap:  a=100
Soru 6 Cevap:  x=150
Soru 7 Cevap:  a=55
Soru 8 Cevap:  75>x>25
Soru 9 Cevap:  x+y=70

Alıştırmalar
Soru 1 Cevap:  x=10
Soru 2 Cevap:  a+c-b=90
Soru 3 Cevap:  a=60

Alıştırmalar
Soru 4 Cevap:  x=140
Soru 5 Cevap:  x=70
Soru 6 Cevap:  m(A)=36
Soru 7 Cevap:  x=130
Soru 8 Cevap:  z=60

Alıştırmalar
Soru 1 Cevap:  En Uzun kenar l Dl
Soru 2 Cevap:  m(B)=41
Soru 3 Cevap:  m(C)=81

Alıştırmalar
Soru 1 Cevap: 
1.Grup üçgen oluşturur.
2 ve 3. Grup üçgen oluşturmaz
Soru 2 Cevap:  Ç(ABC)=5
Soru 3 Cevap:  2<x<4 Ç(ABC)=21
Soru 4 Cevap:  c<10
Soru 4 Cevap:  x=7,8,9,10,11

Alıştırmalar
Soru 7 Cevap:  En Büyük 11
Soru 8 Cevap:  10<x<15 yani x en küçük 11
Soru 9 Cevap:  6<x<18 En büyük 17
Soru 10 Cevap:  x=11
Soru 11 Cevap:  x=12

Alıştırmalar
Soru 1 Cevap:  lBDl=10
Soru 2 Cevap:  lADl =17
Soru 3 Cevap:  m(BTC)=130
Soru 4 Cevap:  x=50
Soru 5 Cevap:  Ç(ABC)=25

Soru 6 Cevap:  0<x<12
Soru 7 Cevap:  x=7/5
Soru 8 Cevap:  x=4
Soru 9 Cevap:  x=8
Soru 10 Cevap:  x=10

Soru 1 Cevap:  Va+Vb+Vc=36
Soru 2 Cevap:  lNCl=3
Soru 3 Cevap:  11 Tane
Soru 4 Cevap:  Ç(ABC)=30
Soru 5 Cevap:  x=√97

Alıştırmalar
Soru 1 Cevap: 100
Soru 2 Cevap: 17
Soru 3 Cevap: 6

Alıştırmalar
Soru 1 Cevap: 20
Soru 2 Cevap: 30
Soru 3 Cevap:  hc>ha>hb
Soru 4 Cevap:  ha=6√3 hb=6√3 hc=6√3 htoplam=18√3

Alıştırmalar
Soru 1 Cevap:  I ve III Doğru
Soru 2 Cevap:  ABC=PNM
Soru 3 Cevap:  x=4 y=3
Soru 4 Cevap:  0<a<18
Soru 5 Cevap:  13
Soru 6 Cevap:  5

Soru 7 Cevap: 3
Soru 8 Cevap: 5
Soru 9 Cevap: 70
Soru 10 Cevap: 80
Soru 11 Cevap: 60

Soru 7 Cevap: 3
Soru 8 Cevap: 5
Soru 9 Cevap: 70
Soru 10 Cevap: 80
Soru 11 Cevap: 60

Alıştırmalar
Soru 16 Cevap:  I ve III
Soru 17 Cevap:  45
Soru 18 Cevap:  HEPSİ

Alıştırmalar
Soru 1 Cevap: 9
Soru 2 Cevap: 9
Soru 3 Cevap: 20

Alıştırmalar
Soru 1 Cevap: 4
Soru 2 Cevap: 3
Soru 3 Cevap: 6
Soru 4 Cevap: 5
Soru 5 Cevap: √2

Alıştırmalar
Soru 1 Cevap:  97/36
Soru 2 Cevap:  5/4

Alıştırmalar
Soru 1 Cevap: 48
Soru 2 Cevap: 24√3
Soru 3 Cevap: 18
Soru 4 Cevap: 16√3
Soru 5 Cevap: 18√2

Soru 6 Cevap: 30
Soru 7 Cevap: 15
Soru 8 Cevap: 8

Soru 9 Cevap: 24
Soru 10 Cevap: 24
Soru 11 Cevap: 10
Soru 12 Cevap: 48

Soru 7 Cevap: 70
Soru 8 Cevap: 130
Soru 9 Cevap: 40
Soru 10 Cevap: 70
Soru 11 Cevap: 55
Soru 12 Cevap: 120

Soru 13 Cevap: 150
Soru 14 Cevap: 60
Soru 15 Cevap: 80
Soru 16 Cevap: 40
Soru 17 Cevap: 8
Soru 18 Cevap: 17
Soru 19 Cevap: 18
Soru 20 Cevap: 8

Soru 21 Cevap: 11
Soru 22 Cevap: 21
Soru 23 Cevap: DC
Soru 24Cevap: 33
Soru 25Cevap: 14
Soru 26Cevap:  ha<hc<hb
Soru 27Cevap: 5√2

Soru 28 Cevap: 135
Soru 29 Cevap: 105
Soru 30 Cevap: 70
Soru 31 Cevap: 12
Soru 32 Cevap: 7
Soru 33 Cevap: 10

Soru 34 Cevap: 12
Soru 35 Cevap: 9
Soru 36 Cevap: 6
Soru 37 Cevap: 10
Soru 38 Cevap: 10
Soru 39 Cevap: 12
Soru 40 Cevap: 6

Soru 41 Cevap: 5
Soru 42 Cevap: 13
Soru 43 Cevap: 18
Soru 44 Cevap: 15
Soru 45 Cevap: 7
Soru 46 Cevap: 24

Soru 60 Cevap: 12
Soru 61 Cevap: 150
Soru 62 Cevap: 13
Soru 63 Cevap: 18
Soru 64 Cevap: 11
Soru 65 Cevap: 5/2

Soru 74 Cevap: II-III
Soru 75 Cevap: 20
Soru 76 Cevap: 3
Soru 77 Cevap: 64
Soru 78 Cevap: 54
Soru 79 Cevap: 24
Soru 10 Cevap: 16

Soru 4 Cevap: 
Soru 5 Cevap: 
a) Zarar=2010-2013
Kar=2011-2012-2014-2015
b) 110.000 Kar
C) 50.000
Soru 6 Cevap: 
Diş=120 TL
Duş=180 TL
Makine=100 TL
Sebze= 45 TL

Soru 8 Cevap: 4
Soru 9 Cevap: 1/3
Soru 10 Cevap:  Maç Sonu
Soru 11 Cevap:  III
Soru 12 Cevap:  Yalnız III
Soru 13 Cevap:  540