Ana Sayfa Uncategorized ASAL SAYILAR VE GEOMETRİK AÇIKLAMASI

ASAL SAYILAR VE GEOMETRİK AÇIKLAMASI

502
0


Asal sayıların keşfi eski çağlara dayanır. Erastosthenes (M.Ö 275-194) belli bir sayıdan daha küçük sayılar için asal sayı ölçütünü önerdi. Euclid ( M.Ö 300- ?) belli bir sayıdan daha büyük bir asal sayı olmadığını kanıtladı. Günümüzde ise matematikçiler ve bilgisayar uzmanlarının bilgisayar kullanarak bir sayının asal olup olmadığını buluyorlar. Peki, biz öğrencilere bir sayının asal olup olmadığını nasıl öğretebiliriz?
Tam sayı deyince 1, 2, 3, 4, 5, … gibi “sayma” sayılarını düşünürüz. Her tam sayı kendisine ve 1’e kalansız olarak bölünür. Pek çok tam sayı başka tam sayılara da kalansız bölünebilirken bazı sayılar kendisinden ve 1’den başka sayıları bölen olarak kabul etmez. İşte o inatçı sayılara asal sayı deriz.
      
         İlk on beş asal sayı şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Burada ilk dikkat çeken ayrıntı 1’in bu listede olmayışıdır. Oysa o da kendinden ve 1’den başka tam sayıya kalansız olarak bölünmüyor. Bu listeye alınmaması matematikçilerin kendi aralarında aldığı bir kararın sonucudur. Şimdilik bu karara saygı duyalım. Az sonra bunun ne kadar yerinde bir karar olduğunu göreceğiz.
       
        Asal Çarpanlar
             Asal olmayan tam sayılara bileşik sayı deriz. Her bileşik sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazabiliriz ve bu yazılış biçimi tektir.
Örneğin: 93=3×31 şeklinde yazılır ve 3’le 31’in yer değiştirmesi dışında 93’ün asalların çarpımı şeklinde başka bir yazılımı yoktur.
Eğer 1’i de asal kabul etseydik, o zaman 93=3×31=1x3x31= 12x3x31= 13x3x31= …ˑˑˑ yazabilecektik. Bu da 93’ün birbirinden anlamca farklı olmayan ama şeklen farklı sonsuz şekilde asal çarpanlara ayrıldığını gösterecekti. Çarpanlar arasına 1’i sokmakla yeni bir bilgi elde etmediğimiz için matematikçiler oy birliğiyle 1’i asal olmaktan azletmiştir. Her tam sayı ya kendisi asaldır ya da asalların çarpımı şeklinde yazılabilir. Öyleyse tüm asalları bilirsek tüm sayıları bilmiş olacağız.
Peki, biz öğrencilere bir sayının asal olup olmadığını nasıl öğretebiliriz? Öğretim programımızda asal sayı kavramını vermeden önce 6.sınıfta M.6.1.2.1 Doğal sayıların çarpanlarını ve katlarını belirler kazanımıyla  önce öğrencilere sayıların katları ve çarpanları buldurulur.Asal sayı kavramını ise M.6.1.2.3 Asal sayıları özellikleriyle belirler ve M.6.1.2.4 Doğal sayıların asal çarpanlarını belirler kazanımlarıyla öğrencilere anlatırız.
Matematiksel düşüncelerin geometrik açıklamaları genellikle bize başka bir bakış açısı kazandırır ve bir kavramın görsel anlamını kavramamızı sağlar. Çarpanlarıyalnızca 1 ve kendisi olan sayılara asal sayı denir. Şimdi bu tanımı geometrik olarak nasıl gösterebileceğimize bakalım.
12 kareyi ele alalım
.
Bunları düzenleyerek çeşitli biçimlerde dikdörtgenler oluşturalım.
                 
Yukarıdaki her dikdörtgen, 12’ nin çarpanlarını ( 1×12 , 2×6, 3×4 ) yani 1, 12, 2, 3 ve 4’ ü gösterir.1 ve kendisinden başka bölen bulduğumuz için buradan 12’nin asal sayı olmadığını keşfederiz.
5 kareyi ele alırsak;
5 tane kareden yalnızca bir dikdörtgen oluşturulabilir. Böylece 5 in çarpanlarının 1 ve 5 olduğu görülür. Ve 5 bir asal sayıdır denir.
Eratosthenes Kalburu
Matematikte, Eratosthenes (Eratostenes) Kalburu belirli bir tamsayıya kadar yer alan asal sayıların bulunması için kullanılan bir yöntemdir.
İki sayı arasındaki asal sayıları bulmak için bu yöntem oldukça kullanışlıdır. Çalışması biraz yavaş olsa da (diğer formüllere göre) yine de eğlenceli ve sonuçta diğerlerinden daha az karmaşıktır.

Kullanımı:

1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
 1′e asal sayı olmadığı için çarpı işareti koyun.
2′yi bir asal sayı olduğu için daire içine alın, daha sonra 2′nin tüm katlarına çarpı işareti koyun.
3′ü de daire içine alın ve katlarına da çarpı işareti koyun.
10’dan büyük olan 5′e daire ve katlarına da çarpı işareti koyun.
100′e kadar olan tüm sayılara bu işlemi uygularsanız, 100′e kadar olan asal sayıları bulursunuz.
Bulduğunuz asallarla 1000′e kadar olanları, onlarla 1.000.000′a kadar olanları da bulursunuz ve bu sonsuza kadar gider.Bu yönteme Eratosthenes’in Kalburu denir.
Biz bu örnekleri çoğaltabiliriz ve yukarıda da belirttiğim kazanımları öğrencilere kazandırabilmek için bu yöntemi kullanabiliriz Böylece öğrenciler hem bir sayının çarpanlarını kolayca görür ve sayının asal olup olmadığına karar verir.

Kaynakça
        Daha Eğlenceli Matematik (Theoni PAPPAS, doruk yayınları
       www.matematiksel.org
       www.matematigiseviyorum.com
        Matematik Öğretim programı            
Hazırlayan: Raziye DİNÇ

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
Lütfen isminizi buraya giriniz